Definição 8: Dizemos que uma função f(x, y) é contínua no ponto ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) pertencente ao domínio f , se o limite de f quando ( x, y ) tende a ( x_{0}, y_{0} ) é igual a f\left(x_{0}\right., \mathrm{y}_{0} ).
Se f for contínua em todo ponto de seu domínio, diremos que f é contínua.

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte definição: “Dizemos que uma função f(x,y) é contínua no ponto (x_0,y_0) pertencente ao domínio de f, se o limite de f quando (x,y) tende a (x_0,y_0) é igual a f(x_0,y_0). Se f for contínua em todo ponto de seu domínio, diremos que f é contínua.”\n\nO que vou fazer: explicar passo a passo o que essa definição quer dizer, dar a versão formal (épsilon‑delta), mostrar como aplicar a definição na prática com exemplos resolvidos e dar um checklist prático para usar na prova — tudo bem mastigado e sem pular etapas.

Passo 2

Intuição — o que significa “continuidade” em duas variáveis de um jeito simples e visual:
  • Pense em (x,y) como um ponto no plano. Dizer que f é contínua em (x_0,y_0) significa que se o ponto (x,y) se aproxima de (x_0,y_0) de qualquer direção (por cima, por baixo, em curva, em linha reta, enfim), os valores f(x,y) se aproximam de f(x_0,y_0).
  • Não pode haver “salto” nem “valor diferente por direções diferentes”: toda aproximação do ponto deve dar o mesmo resultado limite, e esse resultado tem que ser exatamente o valor da função naquele ponto.

Passo 3

Versão formal (épsilon‑delta) — precisa entender para provas:
  • Distância entre pontos do plano: para (x,y) e (x_0,y_0) usa-se a norma euclidiana
\|(x,y)-(x_0,y_0)\|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
  • Definição formal de limite: dizemos que
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta, vale |f(x,y)-L|<\varepsilon.
  • Continuidade em (x_0,y_0): é o caso especial com L=f(x_0,y_0). Ou seja:
f \text{ é contínua em }(x_0,y_0)\quad\Longleftrightarrow\quad \forall\,\varepsilon>0\\ \exists\,\delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta\Rightarrow |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon.éí
  • Explicação das variáveis: \varepsilon mede a precisão desejada no valor da função; \delta mede o quão perto do ponto no plano devemos ficar para garantir essa precisão.

Passo 4

Propriedades úteis (o que você pode usar direto em prova sem fazer épsilon‑delta toda vez):
  • Somas, produtos, quocientes (quando denominador não é zero) e composições de funções contínuas são contínuas.
  • Exemplos de funções contínuas em toda parte do seu domínio: polinômios, funções trigonométricas, exponencial, logaritmo (no domínio), funções racionais (onde o denominador não zera).
  • Consequência prática: se f(x,y)=g(x,y)+h(x,y) e g,h são contínuas em (x_0,y_0), então f é contínua em (x_0,y_0). Isso permite, por exemplo, concluir continuidade de f(x,y)=x^2+y^2 por álgebra simples.

Passo 5

Estratégia prática para decidir continuidade num ponto (checklist para usar na prova)
  1. Verificar se (x_0,y_0) pertence ao domínio. Se não pertence, falar que a questão de continuidade não se aplica ali.
  2. Se a função é combinação de funções contínuas (polinômios, soma/produto/razão com denom ≠ 0, trig, exp, etc.), então basta substituir (x_0,y_0): a função é contínua e o limite é o valor obtido por substituição.
  3. Se ao substituir surge uma forma indeterminada (por exemplo algo do tipo \tfrac{0}{0}), investigar o limite:
    • Testar caminhos simples (retas y=mx, eixos x=0 ou y=0).
    • Tentar coordenadas polares (x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta) se o comportamento radial for mais claro.
    • Usar desigualdades (squeeze theorem) para forçar o limite a zero quando possível.
    • Se limites por caminhos diferentes dão valores diferentes, então o limite não existe e a função não é contínua no ponto.
  4. Se necessário e possível, fazer prova épsilon‑delta (geralmente para funções simples como x^2+y^2 ou x+y é fácil).

Passo 6

Exemplo 1: provar continuidade de f(x,y)=x^2+y^2 em (0,0) com épsilon‑delta (modelo de prova)
  • Queremos mostrar: \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)=0=f(0,0).
  • Note que \|(x,y)-(0,0)\|=\sqrt{x^2+y^2}. Se \sqrt{x^2+y^2}<\delta então x^2+y^2<\delta^2.
  • Tomando \delta=\sqrt{\varepsilon} temos: se \|(x,y)\|<\delta então
|f(x,y)-0|=x^2+y^2<\delta^2=\varepsilon.
  • Logo, para todo \varepsilon>0 existe \delta=\sqrt{\varepsilon} que funciona — portanto f é contínua em (0,0).
  • Observação prática: esse tipo de prova é padrão para funções que podem ser majoradas por uma potência do raio r=\sqrt{x^2+y^2}.

Passo 7

Exemplo 2: mostrar que um limite NÃO existe (importante porque é muito pedido em prova)
Considere a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
  • Abordagem por retas y=mx: para x\ne0,
f(x,mx)=\frac{x^2-m^2x^2}{x^2+m^2x^2}=\frac{1-m^2}{1+m^2}.
  • Ao levar x\to0 mantendo m fixo, o valor tende para \dfrac{1-m^2}{1+m^2}, que depende de m.
  • Como diferentes m dão limites diferentes (por exemplo, m=0 1, m=1 0), o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe.
  • Conclusão: f não é contínua em (0,0) porque o limite não é único (portanto não pode ser igual a f(0,0)).]

Passo 8

Exemplo 3: usar coordenadas polares para decidir limite
  • Coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e \sqrt{x^2+y^2}=r. Quando (x,y)\to(0,0) equivale a r\to0^+ com \theta livre.
  • Se uma função pode ser escrita como f(x,y)=r^k g(\theta) com k>0 e g limitada (isto é, existe M tal que |g(\theta)|\le M para todo \theta), então
|f(x,y)| = r^k |g(\theta)| \le M r^k \xrightarrow{r\to0} 0.
  • Assim, \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 e f é contínua no ponto se f(0,0)=0.
  • Exemplo prático: f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\bigr). Em polares f=r^2\sin(1/r). Como |\sin(1/r)|\le1, obtemos |f|\le r^2\to0. Logo o limite é 0.

Passo 9

Mais exemplos rápidos e o truque das escolhas de caminhos
  • Função que depende do ângulo: g(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}. Em polares g=\cos\theta. Ao levar r\to0 o valor não depende de r, depende de \theta; como \theta pode variar, o limite não existe.
  • Outro clássico: h(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2} (fora da origem). Ao tomar a parábola y=kx^2 obtemos
h(x,kx^2)=\frac{x^2\cdot kx^2}{x^4+k^2x^4}=\frac{k}{1+k^2},
que depende de k. Logo o limite em (0,0) não existe.

Passo 10

Dicas finais de técnica (para prova)
  • Primeiro tente substituição direta. Se funciona, termine ali (muitas funções em provas são assim).
  • Se não, tente mostrar existência do limite por majorantes (squeeze) ou provar não existência testando caminhos diferentes.
  • Use polares quando a expressão tem soma de quadrados x^2+y^2 no denominador ou quando parece radial.
  • Lembre-se: só existe limite se for o mesmo por todas as maneiras de se aproximar do ponto.
  • Se pedir “provando com épsilon‑delta”, escolha uma desigualdade que ligue |f(x,y)-f(x_0,y_0)| a alguma potência de \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} e defina \delta em função de \varepsilon.

Passo 11

Resumo prático para anotar no caderno antes da prova (mini‑fórmula mental)
  • Condição: \displaystyle f \text{ contínua em }(x_0,y_0)\iff \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0).í
  • Estratégia:
    1. Substituir direto (se possível).
    2. Se indeterminado, testar caminhos e/ou usar polares.
    3. Se precisar de prova rigorosa, usar épsilon‑delta com \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.

Passo 12

Pequeno incentivo: você já tem agora um roteiro claro para resolver qualquer questão sobre continuidade em duas variáveis — identificar domínio, tentar substituição, testar caminhos diferentes, usar polares e, quando necessário, fazer uma prova épsilon‑delta. Vai dar pra encarar essas questões na prova — com calma, passo a passo e sem pular etapas. Se quiser, me mande um exercício e eu resolvo com esse roteiro aplicado.

Resposta

A função f é contínua em (x_0,y_0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0).

Exercícios relacionados