Definição 8: Dizemos que uma função f(x, y) é contínua no ponto ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) pertencente ao domínio f , se o limite de f quando ( x, y ) tende a ( x_{0}, y_{0} ) é igual a f\left(x_{0}\right., \mathrm{y}_{0} ).
Se f for contínua em todo ponto de seu domínio, diremos que f é contínua.
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte definição: “Dizemos que uma função f(x,y) é contínua no ponto (x_0,y_0) pertencente ao domínio de f, se o limite de f quando (x,y) tende a (x_0,y_0) é igual a f(x_0,y_0). Se f for contínua em todo ponto de seu domínio, diremos que f é contínua.”\n\nO que vou fazer: explicar passo a passo o que essa definição quer dizer, dar a versão formal (épsilon‑delta), mostrar como aplicar a definição na prática com exemplos resolvidos e dar um checklist prático para usar na prova — tudo bem mastigado e sem pular etapas.
Passo 2
Intuição — o que significa “continuidade” em duas variáveis de um jeito simples e visual:
Pense em (x,y) como um ponto no plano. Dizer que f é contínua em (x_0,y_0) significa que se o ponto (x,y) se aproxima de (x_0,y_0) de qualquer direção (por cima, por baixo, em curva, em linha reta, enfim), os valores f(x,y) se aproximam de f(x_0,y_0).
Não pode haver “salto” nem “valor diferente por direções diferentes”: toda aproximação do ponto deve dar o mesmo resultado limite, e esse resultado tem que ser exatamente o valor da função naquele ponto.
Passo 3
Versão formal (épsilon‑delta) — precisa entender para provas:
Distância entre pontos do plano: para (x,y) e (x_0,y_0) usa-se a norma euclidiana
\|(x,y)-(x_0,y_0)\|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
Definição formal de limite: dizemos que
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta, vale |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Continuidade em (x_0,y_0): é o caso especial com L=f(x_0,y_0). Ou seja:
f \text{ é contínua em }(x_0,y_0)\quad\Longleftrightarrow\quad \forall\,\varepsilon>0\\ \exists\,\delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta\Rightarrow |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon.
Explicação das variáveis: \varepsilon mede a precisão desejada no valor da função; \delta mede o quão perto do ponto no plano devemos ficar para garantir essa precisão.
Passo 4
Propriedades úteis (o que você pode usar direto em prova sem fazer épsilon‑delta toda vez):
Somas, produtos, quocientes (quando denominador não é zero) e composições de funções contínuas são contínuas.
Exemplos de funções contínuas em toda parte do seu domínio: polinômios, funções trigonométricas, exponencial, logaritmo (no domínio), funções racionais (onde o denominador não zera).
Consequência prática: se f(x,y)=g(x,y)+h(x,y) e g,h são contínuas em (x_0,y_0), então f é contínua em (x_0,y_0). Isso permite, por exemplo, concluir continuidade de f(x,y)=x^2+y^2 por álgebra simples.
Passo 5
Estratégia prática para decidir continuidade num ponto (checklist para usar na prova)
Verificar se (x_0,y_0) pertence ao domínio. Se não pertence, falar que a questão de continuidade não se aplica ali.
Se a função é combinação de funções contínuas (polinômios, soma/produto/razão com denom ≠ 0, trig, exp, etc.), então basta substituir (x_0,y_0): a função é contínua e o limite é o valor obtido por substituição.
Se ao substituir surge uma forma indeterminada (por exemplo algo do tipo \tfrac{0}{0}), investigar o limite:
Testar caminhos simples (retas y=mx, eixos x=0 ou y=0).
Tentar coordenadas polares (x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta) se o comportamento radial for mais claro.
Usar desigualdades (squeeze theorem) para forçar o limite a zero quando possível.
Se limites por caminhos diferentes dão valores diferentes, então o limite não existe e a função não é contínua no ponto.
Se necessário e possível, fazer prova épsilon‑delta (geralmente para funções simples como x^2+y^2 ou x+y é fácil).
Passo 6
Exemplo 1: provar continuidade de f(x,y)=x^2+y^2 em (0,0) com épsilon‑delta (modelo de prova)
Ao levar x\to0 mantendo m fixo, o valor tende para \dfrac{1-m^2}{1+m^2}, que depende de m.
Como diferentes m dão limites diferentes (por exemplo, m=0 dá 1, m=1 dá 0), o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe.
Conclusão: f não é contínua em (0,0) porque o limite não é único (portanto não pode ser igual a f(0,0)).]
Passo 8
Exemplo 3: usar coordenadas polares para decidir limite
Coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e \sqrt{x^2+y^2}=r. Quando (x,y)\to(0,0) equivale a r\to0^+ com \theta livre.
Se uma função pode ser escrita como f(x,y)=r^k g(\theta) com k>0 e g limitada (isto é, existe M tal que |g(\theta)|\le M para todo \theta), então
|f(x,y)| = r^k |g(\theta)| \le M r^k \xrightarrow{r\to0} 0.
Assim, \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 e f é contínua no ponto se f(0,0)=0.
Exemplo prático: f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\bigr). Em polares f=r^2\sin(1/r). Como |\sin(1/r)|\le1, obtemos |f|\le r^2\to0. Logo o limite é 0.
Passo 9
Mais exemplos rápidos e o truque das escolhas de caminhos
Função que depende do ângulo: g(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}. Em polares g=\cos\theta. Ao levar r\to0 o valor não depende de r, depende de \theta; como \theta pode variar, o limite não existe.
Outro clássico: h(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2} (fora da origem). Ao tomar a parábola y=kx^2 obtemos
que depende de k. Logo o limite em (0,0) não existe.
Passo 10
Dicas finais de técnica (para prova)
Primeiro tente substituição direta. Se funciona, termine ali (muitas funções em provas são assim).
Se não, tente mostrar existência do limite por majorantes (squeeze) ou provar não existência testando caminhos diferentes.
Use polares quando a expressão tem soma de quadrados x^2+y^2 no denominador ou quando parece radial.
Lembre-se: só existe limite se for o mesmo por todas as maneiras de se aproximar do ponto.
Se pedir “provando com épsilon‑delta”, escolha uma desigualdade que ligue |f(x,y)-f(x_0,y_0)| a alguma potência de \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} e defina \delta em função de \varepsilon.
Passo 11
Resumo prático para anotar no caderno antes da prova (mini‑fórmula mental)
Condição: \displaystyle f \text{ contínua em }(x_0,y_0)\iff \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0).í
Estratégia:
Substituir direto (se possível).
Se indeterminado, testar caminhos e/ou usar polares.
Se precisar de prova rigorosa, usar épsilon‑delta com \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
Passo 12
Pequeno incentivo: você já tem agora um roteiro claro para resolver qualquer questão sobre continuidade em duas variáveis — identificar domínio, tentar substituição, testar caminhos diferentes, usar polares e, quando necessário, fazer uma prova épsilon‑delta. Vai dar pra encarar essas questões na prova — com calma, passo a passo e sem pular etapas. Se quiser, me mande um exercício e eu resolvo com esse roteiro aplicado.
Resposta
A função f é contínua em (x_0,y_0) se, e somente se,