Dê a definição de matriz simétrica e positiva definida.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a definição de matriz simétrica e a definição de matriz positiva definida. Não foram dados outros dados numéricos ou matrizes específicas — a tarefa é fornecer as definições e explicar claramente o que cada conceito significa.
Passo 2
Definição rigorosa de matriz simétrica: primeiro precisamos entender o que é a transposta de uma matriz. Se A é uma matriz n\times n com entradas a_{ij} (onde i indica a linha e j a coluna), a transposta de A, denotada por A^{T}, é a matriz cujas entradas são (A^{T})_{ij}=a_{ji}. Ou seja, trocamos linhas por colunas. Com isso em mãos, dizemos que uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta. Formalmente:
A \text{ é simétrica} \quad \Longleftrightarrow \quad A^{T}=A.
Explicação elementar: isso significa que para todo i,j vale a_{ij}=a_{ji}. Visualmente, a matriz espelha-se em relação à diagonal principal.
Passo 3
Exemplo simples para fixar: uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
é simétrica se, e somente se, b=c. Então uma matriz simétrica 2\times2 tem a forma
\begin{pmatrix} a & b \\\ b & d \end{pmatrix}.
Comentário amigo: pense como se a entrada acima da diagonal principal tivesse que “combinar” com a correspondente abaixo da diagonal.
Passo 4
Agora, definição de matriz positiva definida: para isso precisamos do conceito de forma quadrática associada a A. Se A é uma matriz real n\times n e x é um vetor coluna em \mathbb{R}^{n}, então a expressão x^{T} A x é um número real (quando A tem entradas reais). A matriz A é dita positiva definida quando essa forma quadrática é estritamente positiva para todo vetor não nulo x. Em linguagem matemática:
A \text{ é positiva definida} \quad \Longleftrightarrow \quad \forall x\in\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\},\; x^{T} A x > 0.
Aqui x^{T} é o vetor linha transposto de x, e x^{T} A x é um número real que depende de x.
Passo 5
Observações importantes (didáticas) sobre positiva definida:
A condição acima exige que x^{T} A x seja estritamente maior que zero para todo x\neq 0. Se permitíssemos x^{T} A x \ge 0 (ou seja, não estrito), chamamos a matriz de positiva semidefinida.
Em provas, normalmente você verá a definição através de x^{T} A x>0 e depois terá que aplicar testes ou propriedades para verificar essa desigualdade para todos os x\neq0.
Passo 6
Equivalências úteis (que costumam cair em prova) — aqui vou explicar por que são verdadeiras de forma direta, sem demonstrações profundas, mas com intuição e como usar:
Para matrizes reais simétricas, ser positiva definida é equivalente a ter todos os autovalores positivos. Ou seja, se A é real e A^{T}=A, então
A \text{ positiva definida} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{todos os autovalores de }A\text{ são }>0.
Intuição: uma matriz simétrica pode ser diagonalizada por uma base ortonormal (teorema espectral). Nessa base, x^{T}Ax fica como soma de autovalores vezes os quadrados das coordenadas do vetor — então, se algum autovalor fosse negativo, poderíamos escolher x com coordenada só nessa direção e obter x^{T}Ax<0.
Critério de Sylvester (ferramenta prática para provas): para matrizes reais simétricas, A é positiva definida se, e somente se, todos os determinantes dos menores principais superiores (leading principal minors) forem positivos. Para n\times n isso significa que os determinantes das submatrizes A_{k} obtidas pelas primeiras k linhas e primeiras k colunas satisfazem
\det(A_{k})>0 \quad \text{para } k=1,2,\dots,n.
Exemplo prático 2\times2: para
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ b & d \end{pmatrix},
Sylvester diz que A é positiva definida sse a>0 e \det(A)=ad-b^{2}>0. Esse é um jeito rápido de checar na prova quando a matriz é 2\times2 ou 3\times3.
Passo 7
Exemplos numéricos curtos para entender aplicação:
Exemplo de matriz simétrica e positiva definida:
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Checagem pelo critério 2\times2: a=2>0 e \det(A)=2\cdot2-1^{2}=3>0, logo A é positiva definida. Também podemos testar x^{T}Ax=2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0 para todo x\neq0.
Exemplo de matriz simétrica mas não positiva definida:
B=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Aqui x^{T}Bx=2x_{1}x_{2}. Tomando x=(1,-1)^{T} obtemos x^{T}Bx=-2<0, logo B não é positiva definida.
Passo 8
Resumo final e dica de prova: quando pedirem “é simétrica?” verifique A^{T}=A (ou compare entradas). Quando pedirem “é positiva definida?” tente primeiro calcular x^{T}Ax para ver se consegue escrever como soma de quadrados; se for simétrica, verificar autovalores ou aplicar Sylvester (menores principais) costuma ser o caminho rápido em provas. Respira fundo, identifica qual critério é mais simples de aplicar ao exercício específico e parte pra conta.
Resposta
Matriz simétrica: A é simétrica se, e somente se, A^{T}=A (equivalentemente, a_{ij}=a_{ji} para todos i,j).
Matriz positiva definida: A é positiva definida se, e somente se, para todo x\in\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\} vale x^{T} A x > 0.