Definição 6: Seja f(x, y) uma função de duas variáveis, dizemos que ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) é ponto de acumulação do domínio de f se toda bola aberta de centro em ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) contem infinitos elementos do domínio de f, exceto possivelmente o próprio ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ).
Passo 1
O enunciado nos dá uma definição: seja f(x,y) função de duas variáveis; diz-se que (x_0,y_0) é ponto de acumulação do domínio de f se toda bola aberta de centro em (x_0,y_0) contém infinitos elementos do domínio de f, exceto possivelmente o próprio (x_0,y_0).
O que vou fazer: (1) explicar item a item o que essa definição significa; (2) mostrar uma caracterização sequencial equivalente e provar por que funciona; (3) dar exemplos e contraexemplos concretos para treinar o raciocínio; (4) dar uma receita prática para checar pontos de acumulação numa prova; (5) relacionar rapidamente com pontos isolados e com existência de limites. Vou detalhar tudo devagar, como num passo a passo que dá pra usar na hora da prova.
Passo 2
O que é “bola aberta” e o sentido da expressão da definição.
Bola aberta de centro em (x_0,y_0) e raio r>0 é o conjunto
tenha infinitos elementos, com a permissão de que um desses elementos possa ser exatamente (x_0,y_0). Em palavras simples: não importa quão pequena seja a bola ao redor de (x_0,y_0), dentro dela sempre existem muitos (infinitos) pontos do domínio, além do próprio ponto (se ele pertencer ao domínio).
Por que “exceto possivelmente o próprio (x_0,y_0)”? Porque, às vezes, o ponto está no domínio e é conveniente permitir que a bola contenha aquele mesmo ponto; o importante é que haja outros pontos do domínio arbitrariamente próximos.
Passo 3
Intuição geometrica e um jeitinho mental para lembrar:
Ponto de acumulação = “lugar onde o domínio tem pontos amontoados infinitamente perto”.
Pense em um enxame de pontos que se aproxima do centro; ao reduzir a bola sempre sobram pontos do domínio.
Se o domínio for uma curva contínua (ex.: toda a reta y=0), então qualquer ponto da curva é ponto de acumulação: ao aproximar do centro pela própria curva, sempre encontro mais pontos.
Se o domínio for um conjunto discreto, separado (ex.: a grade \mathbb{Z}^2), então nenhum ponto é de acumulação: há raio pequeno que contém, no máximo, um ponto do domínio.
Passo 4
Caracterização sequencial equivalente (método muito útil em provas) e prova da equivalência.
Afirmação equivalente: (x_0,y_0) é ponto de acumulação de \text{dom}(f) se, e somente se, existe uma sequência \{(x_n,y_n)\}\subset \text{dom}(f) tal que
(x_n,y_n)\neq(x_0,y_0)\\ \text{para todo }n \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0).
Prova “\Rightarrow” (da definição para a existência da sequência):
Suponha que para todo r>0, B_r((x_0,y_0))\cap(\text{dom}(f)\setminus\{(x_0,y_0)\}) tem infinitos pontos.
Para cada inteiro n\ge 1 tome r=\tfrac{1}{n}. Pela hipótese, dentro de B_{1/n}((x_0,y_0)) existe pelo menos um ponto do domínio diferente de (x_0,y_0). Escolha um tal ponto e chame-o (x_n,y_n).
Assim construímos uma sequência com \sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}<\tfrac{1}{n}, logo \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0). Além disso cada termo difere de (x_0,y_0) por construção. Portanto a sequência existe.
Prova “\Leftarrow” (da sequência para a definição):
Suponha que exista uma sequência (x_n,y_n)\in\text{dom}(f)\setminus\{(x_0,y_0)\} tal que (x_n,y_n)\to(x_0,y_0).
Dado r>0, por convergência existe N tal que (x_n,y_n)\in B_r((x_0,y_0)) para todo n\ge N. Assim existem infinitos n com (x_n,y_n)\in B_r((x_0,y_0))\cap\text{dom}(f) (porque há infinitos índices n\ge N). Se necessário pode-se retirar repetições para garantir pontos distintos; portanto a interseção contém infinitos pontos. Logo (x_0,y_0) satisfaz a definição de ponto de acumulação.
Observação prática: em provas, construir explicitamente a sequência (x_n,y_n) com \|(x_n,y_n)-(x_0,y_0)\|<1/n é padrão — é quase automático.
Passo 5
Relação com pontos isolados e com fecho (coisa que cai muito em prova rápida).
Ponto isolado: (x_0,y_0)\in\text{dom}(f) é isolado se existe r>0 tal que
B_r((x_0,y_0))\cap \text{dom}(f)=\{(x_0,y_0)\}.
Ou seja, alguma bola contém só ele. Um ponto isolado NÃO é ponto de acumulação.
Fecho (closure) de um conjunto A: \overline{A} é o conjunto de todos os pontos que são ou pertencem a A ou são pontos de acumulação de A. Em linguagem curta:
\overline{A}=A\cup A',
onde A' é o conjunto de pontos de acumulação de A.
Em particular, se o domínio é um conjunto aberto em \mathbb{R}^2, todo ponto do domínio é ponto de acumulação (porque numa vizinhança pequena ainda há um disco inteiro de pontos do domínio).
Passo 6
Exemplos e contraexemplos concretos (faça na prova como treino mental).
Exemplo A — sequência de pontos que se aproximam:
Seja \text{dom}(f)=\{(1/n,0): n\in\mathbb{N}\}\cup\{(0,0)\}.
Verificar (0,0) é ponto de acumulação: para todo r>0 existe N tal que 1/N<r, logo (1/N,0)\in B_r((0,0)). Como há infinitos n com 1/n<r (na verdade todos n>N), há infinitos pontos do domínio na bola; portanto (0,0) é ponto de acumulação.
Verificar (1/k,0) com k fixo não é ponto de acumulação: existe raio pequeno, por exemplo r=\tfrac{1}{2}\min\{|1/k-1/(k+1)|,|1/k-1/(k-1)|\} (ajustar para casos de borda), tal que B_r((1/k,0)) contém apenas (1/k,0) do domínio — portanto é isolado.
Exemplo B — grade inteira:
\text{dom}(f)=\mathbb{Z}^2. Para qualquer ponto da grade há distância mínima 1 até outro ponto distinto da grade; logo uma bola de raio menor que 1/2 conterá no máximo um ponto. Não há pontos de acumulação.
Exemplo C — reta ou curva contínua:
\text{dom}(f)=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}. Qualquer (x_0,0) é ponto de acumulação: sempre há pontos diferentes arbitrariamente próximos (basta considerar x_0+1/n).
Passo 7
Receita prática para usar na prova (passos curtinhos que você pode seguir rápido):
Veja se o domínio é “contínuo” por ali (intervalo, curva, subconjunto aberto) — se for, ponto é acumulação.
Se o domínio é discreto (lista de pontos, grade, conjunto enumerável sem acúmulo), procure raio que isole o ponto; se existir, não é acumulação.
Se estiver em dúvida, tente construir uma sequência (x_n,y_n)\in\text{dom}(f)\setminus\{(x_0,y_0)\} com \|(x_n,y_n)-(x_0,y_0)\|<1/n. Se conseguir, ponto é acumulação; se conseguir encontrar r>0 tal que nenhum outro ponto do domínio entra em B_r, então não é.
Para conjuntos definidos por fórmulas, pense em parametrização: se a parametrização dá infinitos valores aproximando o centro, então há acumulação.
Passo 8
Por que isso importa para limites de funções (dica de aplicação direta):
Quando se pergunta por \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) faz sentido só se (x_0,y_0) for ponto de acumulação do domínio (ou pelo menos for possível aproximar (x_0,y_0) por pontos do domínio distintos dele). Se (x_0,y_0) for isolado, não existem sequências no domínio que se aproximem de (x_0,y_0) sem serem eventualmente constantes; por isso a definição de limite normalmente exige que o ponto seja de acumulação.
Passo 9
Resumo final rápido e mental (para decorar e usar na prova):
Ponto de acumulação = em toda vizinhança há infinitos pontos do domínio (além do próprio ponto).
Equivalente: existe sequência de pontos distintos do domínio convergindo para o ponto.
Teste prático: construa a sequência (ou ache bola isoladora). Pratique com exemplos simples (reta, grade, sequências 1/n, etc.). Você consegue!
Resposta
(x_0,y_0) é ponto de acumulação do domínio de f se, e somente se, para todo r>0 a interseção B_r((x_0,y_0))\cap\text{dom}(f) contém infinitos elementos (permitindo possivelmente que um desses elementos seja (x_0,y_0)); equivalentemente, existe uma sequência \{(x_n,y_n)\}\subset\text{dom}(f) com (x_n,y_n)\neq(x_0,y_0) para todo n e \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0).