Definição 7: Sejam \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) uma função de duas variáveis e ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) um ponto de acumulação do domínio de f. Dizemos que o limite de f quando ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) tende para ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) é igual a L , se dado \varepsilon> 0 , existe \delta>0, tais que
O enunciado dá a definição formal (ε–δ) de limite para uma função de duas variáveis: uma função f(x,y) e um ponto de acumulação \left(x_{0},y_{0}\right). Diz-se que
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})} f(x,y) = L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
A variável \varepsilon>0 representa o quanto aceitamos de variação no valor da função (faixa vertical em torno de L).
A constante \delta>0 representa o raio do disco em torno de \left(x_{0},y_{0}\right) no domínio (faixa horizontal/geométrica).
A distância usada entre pontos é a distância euclidiana em \mathbb{R}^2: \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
Passo 2
Intuição geométrica e interpretação da definição (sem formalizar ainda).
A condição \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|<\delta significa que (x,y) está dentro de um disco de raio \delta centrado em \left(x_0,y_0\right), exceto possivelmente o próprio ponto central (ponto de acumulação permite aproximar por pontos diferentes).
A condição |f(x,y)-L|<\varepsilon significa que o valor de f(x,y) está dentro do intervalo (L-\varepsilon,\,L+\varepsilon).
A definição exige que para cada escolha de \varepsilon (por mais pequena que seja), consiga-se encontrar um \delta (dependendo de \varepsilon) que garante que todos os pontos do disco produzem valores de f dentro da faixa vertical desejada. É a clássica “dentro do disco no domínio implica dentro do intervalo na imagem”.
Passo 3
Como usar a definição na prática (estratégia para provar que o limite existe).
Objetivo: dado um \varepsilon>0 arbitrário, construir explicitamente um \delta>0 (ou dar uma regra para \delta em função de \varepsilon) que implique |f(x,y)-L|<\varepsilon sempre que \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|<\delta.
Uso de constantes para dominar termos (por exemplo, para funções polinomiais lineares é fácil obter uma constante multiplicativa).
Se f é combinação de funções contínuas conhecidas (polinômios, soma, produto, razão com denominador não nulo), usar continuidade: limites passarem por operações.
Resumo prático: manipular |f(x,y)-L| por desigualdades até obter uma expressão do tipo |f(x,y)-L|\le C\cdot \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|. Então basta escolher \delta=\varepsilon/C.
Passo 4
Exemplo 1 (provar um limite usando a definição):
Provar que
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \bigl(2x+3y\bigr) = -1.
Passo a passo:
Calcular o candidato L: aqui L = 2\cdot 1 + 3\cdot(-1) = -1.
Conclusão: pela definição ε–δ, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,-1)}(2x+3y)=-1.
Comentário pedagógico: essa é uma típica prova “linear” — reduz-se o problema a dominar |f-L| por uma constante vezes a distância no domínio.
Passo 5
Exemplo 2 (mostrar que um limite NÃO existe usando caminhos):
Examinar a função
g(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}
no ponto (0,0) (define-se para (x,y)\neq(0,0)). Queremos saber se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y) existe. Estratégia: testar limites por caminhos diferentes.
Tomar o caminho y=0 (e x\to 0 com x\neq0). Então
g(x,0) = \frac{x^2-0}{x^2+0} = 1.
Portanto o limite ao longo desse caminho é 1.
2. Tomar o caminho x=0 (e y\to 0 com y\neq0). Então
g(0,y) = \frac{0-y^2}{0+y^2} = -1.
Portanto o limite ao longo desse outro caminho é -1.
3. Como os limites ao longo de duas curvas que chegam ao mesmo ponto são diferentes (1 e -1), o limite total não existe. Pela definição formal: não há maneira de escolher um \delta que, para um dado \varepsilon<1 por exemplo, faça todos os pontos no disco mapear dentro do mesmo intervalo em torno de um único L.
Conclusão: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} não existe.
Passo 6
Mais dicas práticas e erros comuns (para a prova):
Para provar existência:
Tente escrever |f(x,y)-L| em termos de |x-x_0| e |y-y_0| e depois dominar por \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|.
Usar desigualdade triangular e a estimativa |x-x_0|\le d, |y-y_0|\le d com d=\left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|.
Para funções compostas de funções contínuas (polinômios, produtos, soma, razão com denominador não nulo), usar continuidade: basta avaliar f(x_0,y_0) para obter L.
Para provar não existência:
Buscar caminhos diferentes (retas y=mx, eixos, curvas polinomiais, trajetórias polares) que levem a limites diferentes.
Cuidado: encontrar o mesmo limite em vários caminhos não prova existência — é necessário provar o resultado para todos os pontos na vizinhança (ou fornecer ε–δ).
Evitar confundir limite com valor da função no ponto: limite pode existir mesmo que f não esteja definido em (x_0,y_0) ou esteja definido com outro valor.
Passo 7
Resumo didático final (como fazer num exercício de prova):
Identifique o ponto (x_0,y_0) e calcule o candidato L (quando aplicável).
Tente manipular |f(x,y)-L| para obter uma desigualdade do tipo |f-L|\le C\cdot\left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|. Se conseguir, escolha \delta=\varepsilon/C.
Se não for possível, tente outras técnicas: coordenadas polares (para simetrias radiais), desigualdades mais finas, ou mostrar dependência de caminho para negar existência.
Ao apresentar a solução, explicite a escolha de \delta em função de \varepsilon e mostre a implicação lógica final.
Resposta
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,-1)}(2x+3y)=-1 \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} não existe