Definição 7: Sejam \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) uma função de duas variáveis e ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) um ponto de acumulação do domínio de f. Dizemos que o limite de f quando ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) tende para ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) é igual a L , se dado \varepsilon> 0 , existe \delta>0, tais que
\left|(x, y)-\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<\delta \Rightarrow|f(x, y)-L|<\varepsilon

Passo 1

O enunciado dá a definição formal (ε–δ) de limite para uma função de duas variáveis: uma função f(x,y) e um ponto de acumulação \left(x_{0},y_{0}\right). Diz-se que
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})} f(x,y) = L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
\left|(x,y)-\left(x_{0},y_{0}\right)\right|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável \varepsilon>0 representa o quanto aceitamos de variação no valor da função (faixa vertical em torno de L).
  • A constante \delta>0 representa o raio do disco em torno de \left(x_{0},y_{0}\right) no domínio (faixa horizontal/geométrica).
  • A distância usada entre pontos é a distância euclidiana em \mathbb{R}^2: \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.

Passo 2

Intuição geométrica e interpretação da definição (sem formalizar ainda).
  • A condição \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|<\delta significa que (x,y) está dentro de um disco de raio \delta centrado em \left(x_0,y_0\right), exceto possivelmente o próprio ponto central (ponto de acumulação permite aproximar por pontos diferentes).
  • A condição |f(x,y)-L|<\varepsilon significa que o valor de f(x,y) está dentro do intervalo (L-\varepsilon,\,L+\varepsilon).
  • A definição exige que para cada escolha de \varepsilon (por mais pequena que seja), consiga-se encontrar um \delta (dependendo de \varepsilon) que garante que todos os pontos do disco produzem valores de f dentro da faixa vertical desejada. É a clássica “dentro do disco no domínio implica dentro do intervalo na imagem”.

Passo 3

Como usar a definição na prática (estratégia para provar que o limite existe).
  • Objetivo: dado um \varepsilon>0 arbitrário, construir explicitamente um \delta>0 (ou dar uma regra para \delta em função de \varepsilon) que implique |f(x,y)-L|<\varepsilon sempre que \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|<\delta.
  • Ferramentas comuns:
    1. Desigualdades elementares: |u+v|\le |u|+|v|, |x-x_0|\le \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
    2. Uso de constantes para dominar termos (por exemplo, para funções polinomiais lineares é fácil obter uma constante multiplicativa).
    3. Se f é combinação de funções contínuas conhecidas (polinômios, soma, produto, razão com denominador não nulo), usar continuidade: limites passarem por operações.
  • Resumo prático: manipular |f(x,y)-L| por desigualdades até obter uma expressão do tipo |f(x,y)-L|\le C\cdot \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|. Então basta escolher \delta=\varepsilon/C.

Passo 4

Exemplo 1 (provar um limite usando a definição):
Provar que
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \bigl(2x+3y\bigr) = -1.
Passo a passo:
  1. Calcular o candidato L: aqui L = 2\cdot 1 + 3\cdot(-1) = -1.
  2. Escrever a diferença que queremos controlar:
|f(x,y)-L| = \bigl|2x+3y - (-1)\bigr| = \bigl|2(x-1) + 3(y+1)\bigr|.
  1. Aplicar desigualdade triangular:
\bigl|2(x-1) + 3(y+1)\bigr| \le 2\,|x-1| + 3\,|y+1|.
  1. Usar a observação simples |x-1|\le \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} e |y+1|\le \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}. Denote
d=\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\left|(x,y)-(1,-1)\right|.
Então
2\,|x-1| + 3\,|y+1| \le 2d + 3d = 5d.
  1. Assim obtemos a desigualdade:
|f(x,y)-L| \le 5 \, \left|(x,y)-(1,-1)\right|.
  1. Dado \varepsilon>0, escolha \delta = \varepsilon/5. Então, se \left|(x,y)-(1,-1)\right|<\delta segue
|f(x,y)-L| \le 5\left|(x,y)-(1,-1)\right| < 5\delta = \varepsilon.
  1. Conclusão: pela definição ε–δ, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,-1)}(2x+3y)=-1.
    Comentário pedagógico: essa é uma típica prova “linear” — reduz-se o problema a dominar |f-L| por uma constante vezes a distância no domínio.

Passo 5

Exemplo 2 (mostrar que um limite NÃO existe usando caminhos):
Examinar a função
g(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}
no ponto (0,0) (define-se para (x,y)\neq(0,0)). Queremos saber se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y) existe. Estratégia: testar limites por caminhos diferentes.
  1. Tomar o caminho y=0 (e x\to 0 com x\neq0). Então
g(x,0) = \frac{x^2-0}{x^2+0} = 1.
Portanto o limite ao longo desse caminho é 1.
2. Tomar o caminho x=0 (e y\to 0 com y\neq0). Então
g(0,y) = \frac{0-y^2}{0+y^2} = -1.
Portanto o limite ao longo desse outro caminho é -1.
3. Como os limites ao longo de duas curvas que chegam ao mesmo ponto são diferentes ( 1 e -1), o limite total não existe. Pela definição formal: não há maneira de escolher um \delta que, para um dado \varepsilon<1 por exemplo, faça todos os pontos no disco mapear dentro do mesmo intervalo em torno de um único L.
Conclusão: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} não existe.

Passo 6

Mais dicas práticas e erros comuns (para a prova):
  • Para provar existência:
    • Tente escrever |f(x,y)-L| em termos de |x-x_0| e |y-y_0| e depois dominar por \left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|.
    • Usar desigualdade triangular e a estimativa |x-x_0|\le d, |y-y_0|\le d com d=\left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|.
    • Para funções compostas de funções contínuas (polinômios, produtos, soma, razão com denominador não nulo), usar continuidade: basta avaliar f(x_0,y_0) para obter L.
  • Para provar não existência:
    • Buscar caminhos diferentes (retas y=mx, eixos, curvas polinomiais, trajetórias polares) que levem a limites diferentes.
    • Cuidado: encontrar o mesmo limite em vários caminhos não prova existência — é necessário provar o resultado para todos os pontos na vizinhança (ou fornecer ε–δ).
  • Evitar confundir limite com valor da função no ponto: limite pode existir mesmo que f não esteja definido em (x_0,y_0) ou esteja definido com outro valor.

Passo 7

Resumo didático final (como fazer num exercício de prova):
  • Identifique o ponto (x_0,y_0) e calcule o candidato L (quando aplicável).
  • Tente manipular |f(x,y)-L| para obter uma desigualdade do tipo |f-L|\le C\cdot\left|(x,y)-(x_0,y_0)\right|. Se conseguir, escolha \delta=\varepsilon/C.
  • Se não for possível, tente outras técnicas: coordenadas polares (para simetrias radiais), desigualdades mais finas, ou mostrar dependência de caminho para negar existência.
  • Ao apresentar a solução, explicite a escolha de \delta em função de \varepsilon e mostre a implicação lógica final.

Resposta

\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,-1)}(2x+3y)=-1
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} não existe

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