Demonstrar a diferença entre a teoria de cisalhamento máximo e a teoria da energia da distorção máxima, considerando cisalhamento puro, ou seja,
e $\sigma_{3}=0 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a diferença entre a teoria de cisalhamento máximo (Tresca) e a teoria da energia de distorção máxima (von Mises) no caso de cisalhamento puro, isto é, com as tensões principais dadas por:
Vou listar o que preciso obter:
- A condição de escoamento segundo Tresca, escrita em função de
e da resistência à tração uniaxial . - A condição de escoamento segundo von Mises, escrita em função de
e de . - Comparar numericamente e interpretar a diferença (qual é mais conservadora para cisalhamento puro).
Aqui
é a tensão de escoamento em ensaio uniaxial (valor da resistência à tração no escoamento).
Passo 2
Explicando e aplicando a teoria de cisalhamento máximo (Tresca).
- Conceito rápido: Tresca diz que o escoamento ocorre quando a maior tensão de cisalhamento absoluta no sólido atinge metade da resistência à tração uniaxial. Em fórmula: o material escoa se
- Definição prática de
: para um estado dado por tensões principais ,
- Aplicando ao caso
: - Calcular as diferenças:
- Calcular as diferenças:
- Então
- Condição de escoamento Tresca: colocar
dá
- Outra forma útil de ver a previsão de Tresca é definir um “esforço equivalente uniaxial”
tal que o estado bidimensional seja equivalente a uma tensão uniaxial . Para Tresca, pela relação acima:
Passo 3
Explicando e aplicando a teoria da energia de distorção máxima (von Mises).
- Conceito rápido: von Mises afirma que o escoamento ocorre quando a energia de distorção (energia associada às diferenças entre tensões principais) atinge o mesmo valor do ensaio uniaxial. Isso é expresso por um esforço equivalente
dado por
O escoamento ocorre quando
.
- Aplicando ao caso
: - Já calculamos as diferenças:
, , . - Quadrados e soma:
- Substituindo na expressão:
- Já calculamos as diferenças:
- Condição de escoamento von Mises:
implica
Passo 4
Comparação numérica e interpretação.
- Expressões encontradas:
- Tresca:
- von Mises:
- Tresca:
- Em termos de esforço equivalente para um dado
: -
- Interpretação: para cisalhamento puro Tresca prevê escoamento a um valor de cisalhamento menor (
) do que von Mises ( ). Ou seja, Tresca é mais conservadora (preverá escoamento mais cedo no caso de cisalhamento puro). A razão prática é que Tresca usa apenas o maior cisalhamento absoluto (critério geométrico com superfície hexagonal no espaço das tensões principais), enquanto von Mises integra a contribuição de todas as diferenças de tensões (superfície suave, circular/ elíptica no plano apropriado), levando a uma previsão menos conservadora nesse caso específico.
Passo 5
Resumo final e dica prática para prova (um jeitinho para lembrar):
- Para estados com
(cisalhamento puro) memorize: - Tresca:
- von Mises:
- Tresca:
- Regra rápida de checagem: calcule
para Tresca (metade da maior diferença entre principais) e calcule pela fórmula de von Mises; compare com . Para cisalhamento puro os números acima aparecem sempre.
Resposta
Tresca:
(equivalente uniaxial
).
von Mises: (equivalente uniaxial
).
von Mises: