Demonstrar a diferença entre a teoria de cisalhamento máximo e a teoria da energia da distorção máxima, considerando cisalhamento puro, ou seja, \sigma_{1}=-\sigma_{2}=\tau e $\sigma_{3}=0 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a diferença entre a teoria de cisalhamento máximo (Tresca) e a teoria da energia de distorção máxima (von Mises) no caso de cisalhamento puro, isto é, com as tensões principais dadas por:
\sigma_{1}=\tau,\qquad \sigma_{2}=-\tau,\qquad \sigma_{3}=0.
Vou listar o que preciso obter:
  • A condição de escoamento segundo Tresca, escrita em função de \tau e da resistência à tração uniaxial \sigma_{Y}.
  • A condição de escoamento segundo von Mises, escrita em função de \tau e de \sigma_{Y}.
  • Comparar numericamente e interpretar a diferença (qual é mais conservadora para cisalhamento puro).
Aqui \sigma_{Y} é a tensão de escoamento em ensaio uniaxial (valor da resistência à tração no escoamento).

Passo 2

Explicando e aplicando a teoria de cisalhamento máximo (Tresca).
  • Conceito rápido: Tresca diz que o escoamento ocorre quando a maior tensão de cisalhamento absoluta no sólido atinge metade da resistência à tração uniaxial. Em fórmula: o material escoa se
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{Y}}{2}.
  • Definição prática de \tau_{\max}: para um estado dado por tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,
\tau_{\max}=\frac{1}{2}\max\big(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\big).
  • Aplicando ao caso \sigma_{1}=\tau,\\ \sigma_{2}=-\tau,\\ \sigma_{3}=0:
    • Calcular as diferenças: |\sigma_1-\sigma_2|=|\tau-(-\tau)|=2\tau,
|\sigma_2-\sigma_3|=|-\tau-0|=\tau,
|\sigma_3-\sigma_1|=|0-\tau|=\tau.
  • Então \tau_{\max}=\frac{1}{2}\cdot 2\tau=\tau.
  • Condição de escoamento Tresca: colocar \tau_{\max}=\sigma_{Y}/2
\tau=\frac{\sigma_{Y}}{2}.
  • Outra forma útil de ver a previsão de Tresca é definir um “esforço equivalente uniaxial” \sigma_{\text{eq}}^{\text{Tresca}} tal que o estado bidimensional seja equivalente a uma tensão uniaxial \sigma_{\text{eq}}. Para Tresca, pela relação acima:
\sigma_{\text{eq}}^{\text{Tresca}}=2\tau.

Passo 3

Explicando e aplicando a teoria da energia de distorção máxima (von Mises).
  • Conceito rápido: von Mises afirma que o escoamento ocorre quando a energia de distorção (energia associada às diferenças entre tensões principais) atinge o mesmo valor do ensaio uniaxial. Isso é expresso por um esforço equivalente \sigma_{\text{eq}}^{\text{VM}} dado por
\sigma_{\text{eq}}^{\text{VM}}=\sqrt{\dfrac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}.
O escoamento ocorre quando \sigma_{\text{eq}}^{\text{VM}}=\sigma_{Y}.
  • Aplicando ao caso \sigma_{1}=\tau,\\ \sigma_{2}=-\tau,\\ \sigma_{3}=0:
    • Já calculamos as diferenças: \sigma_1-\sigma_2=2\tau, \sigma_2-\sigma_3=-\tau, \sigma_3-\sigma_1=-\tau.
    • Quadrados e soma: (2\tau)^2+(-\tau)^2+(-\tau)^2=4\tau^2+\tau^2+\tau^2=6\tau^2.
    • Substituindo na expressão: \sigma_{\text{eq}}^{\text{VM}}=\sqrt{\dfrac{6\tau^2}{2}}=\sqrt{3}\,\tau.
  • Condição de escoamento von Mises: \sigma_{\text{eq}}^{\text{VM}}=\sigma_{Y} implica
\sqrt{3}\,\tau=\sigma_{Y}\quad\Rightarrow\quad \tau=\frac{\sigma_{Y}}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Comparação numérica e interpretação.
  • Expressões encontradas:
    • Tresca: \tau_{\text{limite}}^{\text{Tresca}}=\dfrac{\sigma_{Y}}{2}\approx 0{,}500\,\sigma_{Y}.
    • von Mises: \tau_{\text{limite}}^{\text{VM}}=\dfrac{\sigma_{Y}}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577\,\sigma_{Y}.
  • Em termos de esforço equivalente para um dado \tau:
    • \sigma_{\text{eq}}^{\text{Tresca}}=2\tau.
    • \sigma_{\text{eq}}^{\text{VM}}=\sqrt{3}\,\tau\approx 1{,}732\,\tau.
  • Interpretação: para cisalhamento puro Tresca prevê escoamento a um valor de cisalhamento menor ( 0{,}5\,\sigma_{Y}) do que von Mises ( 0{,}577\,\sigma_{Y}). Ou seja, Tresca é mais conservadora (preverá escoamento mais cedo no caso de cisalhamento puro). A razão prática é que Tresca usa apenas o maior cisalhamento absoluto (critério geométrico com superfície hexagonal no espaço das tensões principais), enquanto von Mises integra a contribuição de todas as diferenças de tensões (superfície suave, circular/ elíptica no plano apropriado), levando a uma previsão menos conservadora nesse caso específico.

Passo 5

Resumo final e dica prática para prova (um jeitinho para lembrar):
  • Para estados com \sigma_{1}=\tau,\\ \sigma_{2}=-\tau,\\ \sigma_{3}=0 (cisalhamento puro) memorize:
    • Tresca: \tau_{\text{limite}}=\dfrac{\sigma_{Y}}{2}.
    • von Mises: \tau_{\text{limite}}=\dfrac{\sigma_{Y}}{\sqrt{3}}.
  • Regra rápida de checagem: calcule \tau_{\max} para Tresca (metade da maior diferença entre principais) e calcule \sigma_{\text{eq}} pela fórmula de von Mises; compare com \sigma_{Y}. Para cisalhamento puro os números acima aparecem sempre.

Resposta

Tresca: \tau_{\text{limite}}=\dfrac{\sigma_{Y}}{2} (equivalente uniaxial \sigma_{\text{eq}}^{\text{Tresca}}=2\tau).
von Mises: \tau_{\text{limite}}=\dfrac{\sigma_{Y}}{\sqrt{3}} (equivalente uniaxial \sigma_{\text{eq}}^{\text{VM}}=\sqrt{3}\,\tau).

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