Demonstre os axiomas da adição, para \forall r, s \in \mathbb{Q}
Associativa: (r+s)+t=r+(s+t)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer r,s,t \in \mathbb{Q}, vale a propriedade associativa da adição:
(r+s)+t = r+(s+t).
Informações relevantes que vamos usar (estas são as hipóteses/definições que o problema fornece ou que precisamos lembrar):
\mathbb{Q}=\{[(a,b)] \mid a,b\in\mathbb{Z},\; b\neq 0\},
onde [(a,b)] denota a classe de equivalência do par (a,b) sob a relação (a,b)\sim(c,d) quando ad=bc. A adição em \mathbb{Q} é definida por
[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,\;bd)].
Também usaremos propriedades elementares dos inteiros: associatividade e comutatividade da adição e multiplicação e distributividade da multiplicação sobre a adição. Não faremos a prova da definição da operação ser bem-definida aqui; vamos trabalhar com representantes e, quando obtivermos o mesmo par de inteiros para numerador e denominador, suas classes serão iguais.

Passo 2

Vamos trabalhar com representantes. Seja
r=[(a,b)],\qquad s=[(c,d)],\qquad t=[(e,f)],
com a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z} e b,d,f\neq 0. Explico: escolher um representante significa pegar um par de inteiros que representa a classe racional; qualquer par equivalente representa o mesmo racional. A estratégia é calcular as duas expressões (r+s)+t e r+(s+t) usando a definição da adição em \mathbb{Q} e mostrar que elas são a mesma classe.

Passo 3

Calcule primeiro r+s usando a definição:
r+s = [(a,b)]+[(c,d)] = [(ad+bc,\;bd)].
Expliquei: aplicamos diretamente a fórmula [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)], onde o numerador é ad+bc e o denominador é bd.

Passo 4

Agora calcule (r+s)+t. Substituindo r+s pela classe obtida:
(r+s)+t = [(ad+bc,\;bd)]+[(e,f)].
Aplicando a definição de adição novamente obtemos
(r+s)+t = \bigl(((ad+bc)f) + e(bd),\; (bd)f\bigr).
Em notação compacta,
(r+s)+t = \bigl(adf + bcf + ebd,\; bdf\bigr).
Aqui fiz duas operações: multipliquei o numerador (ad+bc) por f e somei com e vezes o denominador (bd); o denominador resultante é (bd)f=bdf.

Passo 5

Agora calcule s+t e em seguida r+(s+t). Primeiro
s+t = [(c,d)]+[(e,f)] = [(cf+de,\;df)].
Em seguida
r+(s+t) = [(a,b)]+[(cf+de,\;df)].
Aplicando a definição da adição:
r+(s+t) = \bigl(a(df) + b(cf+de),\; b(df)\bigr).
Simplificando os produtos:
r+(s+t) = \bigl(adf + bcf + bde,\; bdf\bigr).

Passo 6

Compare os numeradores das duas classes obtidas:
\text{numerador de }(r+s)+t = adf + bcf + ebd,
\text{numerador de }r+(s+t) = adf + bcf + bde.
Usamos agora a comutatividade da multiplicação nos inteiros para ver que
ebd = bde,
porque multiplicação de inteiros pode ser reordenada. Portanto os dois numeradores são exatamente iguais:
adf + bcf + ebd = adf + bcf + bde.
Os denominadores já são iguais ( bdf em ambos os casos). Assim os pares inteiros que representam as duas somas são idênticos, logo determinam a mesma classe em \mathbb{Q}.

Passo 7

Concluímos que as classes são iguais, isto é,
(r+s)+t = r+(s+t),
para quaisquer r,s,t\in\mathbb{Q}. Comentário final didático: a prova essencialmente se baseia na definição da adição de racionais via representantes e nas propriedades elementares da aritmética inteira (associatividade/comutatividade/distributividade) que permitem rearranjar os termos e identificar os numeradores iguais. Isso é o que garante a associatividade da adição em \mathbb{Q}.

Resposta

(r+s)+t = r+(s+t)

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