Demonstre os axiomas da adição, para
Associativa:
Associativa:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer
, vale a propriedade associativa da adição:
Informações relevantes que vamos usar (estas são as hipóteses/definições que o problema fornece ou que precisamos lembrar):
onde
denota a classe de equivalência do par
sob a relação
quando
. A adição em
é definida por
Também usaremos propriedades elementares dos inteiros: associatividade e comutatividade da adição e multiplicação e distributividade da multiplicação sobre a adição. Não faremos a prova da definição da operação ser bem-definida aqui; vamos trabalhar com representantes e, quando obtivermos o mesmo par de inteiros para numerador e denominador, suas classes serão iguais.
Passo 2
Vamos trabalhar com representantes. Seja
com
e
. Explico: escolher um representante significa pegar um par de inteiros que representa a classe racional; qualquer par equivalente representa o mesmo racional. A estratégia é calcular as duas expressões
e
usando a definição da adição em
e mostrar que elas são a mesma classe.
Passo 3
Calcule primeiro
usando a definição:
Expliquei: aplicamos diretamente a fórmula
, onde o numerador é
e o denominador é
.
Passo 4
Agora calcule
. Substituindo
pela classe obtida:
Aplicando a definição de adição novamente obtemos
Em notação compacta,
Aqui fiz duas operações: multipliquei o numerador
por
e somei com
vezes o denominador
; o denominador resultante é
.
Passo 5
Agora calcule
e em seguida
. Primeiro
Em seguida
Aplicando a definição da adição:
Simplificando os produtos:
Passo 6
Compare os numeradores das duas classes obtidas:
Usamos agora a comutatividade da multiplicação nos inteiros para ver que
porque multiplicação de inteiros pode ser reordenada. Portanto os dois numeradores são exatamente iguais:
Os denominadores já são iguais (
em ambos os casos). Assim os pares inteiros que representam as duas somas são idênticos, logo determinam a mesma classe em
.
Passo 7
Concluímos que as classes são iguais, isto é,
para quaisquer
. Comentário final didático: a prova essencialmente se baseia na definição da adição de racionais via representantes e nas propriedades elementares da aritmética inteira (associatividade/comutatividade/distributividade) que permitem rearranjar os termos e identificar os numeradores iguais. Isso é o que garante a associatividade da adição em
.