Demonstre os axiomas da multiplicação, para ∀ a, b, c ∈ \mathbb{Z}
Comutatividade: \overline{(a, b)} \cdot \overline{(c, d)}=\overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a propriedade de comutatividade da multiplicação no conjunto dos inteiros construídos como classes de equivalência de pares. Em outras palavras, devemos provar que, para quaisquer representantes escolhidos,
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}\cdot\overline{(a,b)}.
Informações e notações que vamos usar (tudo dado pelo enunciado ou pela construção padrão dos inteiros):
\text{os inteiros são as classes } \overline{(x,y)} \text{ de pares } (x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N},ã
a relação de equivalência `` \sim’’ é definida por
(x,y)\sim (u,v)\quad\Longleftrightarrow\quad x+v = u+y,
e a multiplicação entre classes é definida por
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,\;ad+bc)}.
No Passo 2 em diante vamos usar essas definições para provar a igualdade pedida.

Passo 2

Explicando com calma a definição de multiplicação que usamos: a classe \overline{(a,b)} representa o inteiro `` a-b’’ (intuitivamente). Para duas classes \overline{(a,b)} e \overline{(c,d)} definimos a multiplicação por
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}:=\overline{(ac+bd,\;ad+bc)}.
Por que essa fórmula faz sentido? Pense que (a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd. Ao rearranjar para a forma de um par (\text{parte positiva},\text{parte negativa}) obtemos (ac+bd,\;ad+bc). Não precisamos mostrar aqui toda a motivação, mas é importante entender que a fórmula vem do produto formal de diferenças.

Passo 3

Recordando a relação de equivalência e como concluímos igualdade de classes: duas classes \overline{(x_1,y_1)} e \overline{(x_2,y_2)} são iguais se e somente se seus representantes satisfazem
x_1+y_2 = x_2+y_1.
Uma observação simples e útil: se os dois pares têm componentes iguais termo a termo, ou seja x_1=x_2 e y_1=y_2, então certamente x_1+y_2=x_2+y_1 e as classes são iguais. Portanto, se mostramos que as duas componentes do par que define o produto trocado coincidem, já temos a igualdade das classes.

Passo 4

Calculemos explicitamente os dois produtos (usando a definição do Passo 2). Primeiro,
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,\;ad+bc)}.
Agora trocando os fatores,
\overline{(c,d)}\cdot\overline{(a,b)}=\overline{(ca+db,\;cb+da)}.
Note que escrevemos os dois pares que representam cada produto; a meta é mostrar que esses dois pares determinam a mesma classe.

Passo 5

Usamos a propriedade elementar da multiplicação em \mathbb{N} (ou em \mathbb{Z}) que já conhecemos: a multiplicação é comutativa e associativa nos naturais, isto é, ac=ca, bd=db, ad=da e bc=cb. Aplicando essas igualdades aos termos dos pares temos:
ac+bd = ca+db
e
ad+bc = da+cb.
Portanto as componentes correspondentes dos dois pares são iguais termo a termo.

Passo 6

Como as componentes dos pares que definem os dois produtos coincidem termo a termo, os pares são iguais como pares em \mathbb{N}\times\mathbb{N}. Logo, pelas propriedades da relação de equivalência (se os representantes são exatamente iguais então definem a mesma classe),
\overline{(ac+bd,\;ad+bc)}=\overline{(ca+db,\;cb+da)}.
Isto significa exatamente que
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}\cdot\overline{(a,b)}.
Acabou: mostramos que, para quaisquer representantes, o produto não depende da ordem — ou seja, a multiplicação é comutativa nas classes de inteiros.

Resposta

\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}\cdot\overline{(a,b)}

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