Demonstre os axiomas da multiplicação, para ∀ a, b, c ∈ \mathbb{Z}
Comutatividade: \overline{(a, b)} \cdot \overline{(c, d)}=\overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a propriedade de comutatividade da multiplicação no conjunto dos inteiros construídos como classes de equivalência de pares. Em outras palavras, devemos provar que, para quaisquer representantes escolhidos,
No Passo 2 em diante vamos usar essas definições para provar a igualdade pedida.
Passo 2
Explicando com calma a definição de multiplicação que usamos: a classe \overline{(a,b)} representa o inteiro ``a-b’’ (intuitivamente). Para duas classes \overline{(a,b)} e \overline{(c,d)} definimos a multiplicação por
Por que essa fórmula faz sentido? Pense que (a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd. Ao rearranjar para a forma de um par (\text{parte positiva},\text{parte negativa}) obtemos (ac+bd,\;ad+bc). Não precisamos mostrar aqui toda a motivação, mas é importante entender que a fórmula vem do produto formal de diferenças.
Passo 3
Recordando a relação de equivalência e como concluímos igualdade de classes: duas classes \overline{(x_1,y_1)} e \overline{(x_2,y_2)} são iguais se e somente se seus representantes satisfazem
x_1+y_2 = x_2+y_1.
Uma observação simples e útil: se os dois pares têm componentes iguais termo a termo, ou seja x_1=x_2 e y_1=y_2, então certamente x_1+y_2=x_2+y_1 e as classes são iguais. Portanto, se mostramos que as duas componentes do par que define o produto trocado coincidem, já temos a igualdade das classes.
Passo 4
Calculemos explicitamente os dois produtos (usando a definição do Passo 2). Primeiro,
Note que escrevemos os dois pares que representam cada produto; a meta é mostrar que esses dois pares determinam a mesma classe.
Passo 5
Usamos a propriedade elementar da multiplicação em \mathbb{N} (ou em \mathbb{Z}) que já conhecemos: a multiplicação é comutativa e associativa nos naturais, isto é, ac=ca, bd=db, ad=da e bc=cb. Aplicando essas igualdades aos termos dos pares temos:
ac+bd = ca+db
e
ad+bc = da+cb.
Portanto as componentes correspondentes dos dois pares são iguais termo a termo.
Passo 6
Como as componentes dos pares que definem os dois produtos coincidem termo a termo, os pares são iguais como pares em \mathbb{N}\times\mathbb{N}. Logo, pelas propriedades da relação de equivalência (se os representantes são exatamente iguais então definem a mesma classe),