Demonstre os axiomas da multiplicação, para
Distributiva da multiplicação em relação a adição
Distributiva da multiplicação em relação a adição
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição para todos os inteiros. Ou seja, provar que
Informações dadas e pressupostos que vamos usar (anote, é importante): \n
- Temos
. \n - Vou trabalhar com a construção dos inteiros
a partir dos naturais (construção padrão): um inteiro é uma classe de equivalência de pares com . \n - Nas contas vou usar propriedades já estabelecidas para
, em particular a distributiva dos naturais, associatividade e comutatividade da adição e multiplicação em . (Essas propriedades podem ser demonstradas a partir dos axiomas de Peano; aqui vou usá-las como conhecidas.)
Passo 2
Lembrando a definição concreta de
que vou usar (explico devagar porque às vezes isso dá nó na cabeça): \n
- Representamos um inteiro por uma classe
onde . A ideia intuitiva é que corresponde a . \n - A soma e o produto de classes são definidos por
e
Expliquei as fórmulas: para soma juntamos as primeiras componentes e as segundas; para produto usamos a fórmula acima (ela corresponde à multiplicação de diferenças:
). Essas operações são bem definidas (ou seja, independem do representante escolhido) — isso é um resultado padrão que podemos aceitar aqui.
Passo 3
Agora vamos ao núcleo da demonstração. Pegue
e escolha representantes:
com
. Nosso objetivo é mostrar que
Passo 4
Calcule primeiro
usando a definição da soma:
Agora calcule
usando a definição do produto:
Desenvolvendo os termos (aqui uso a distributiva nos naturais e a comutatividade/associatividade em
):
Portanto
Passo 5
Agora calcule o lado direito separadamente. Primeiro
e
:
Somando as duas classes (usando a definição da soma em
):
Reordenando os somandos (permitido em
pela comutatividade/associatividade) obtemos
Passo 6
Compare o que achamos em
Passo 7
Isto prova a distributiva para os representantes escolhidos. Como
eram inteiros arbitrários (escolhidos via representantes quaisquer), concluímos que a identidade vale para todos os inteiros. Observação final rápida: a única propriedade dos naturais que usamos explicitamente foi a distributiva em
(e associatividade/comutatividade para arranjar somas), e a construção das operações em
garante que o argumento é legítimo.