Demonstre os axiomas da multiplicação, para ∀ a, b, c ∈ \mathbb{Z}
Elemento neutro: \exists \overline{(1,0)} \in \mathbb{Z}, tal que \overline{(a, b)} \cdot \overline{(1,0)}=\overline{(1,0)} \cdot \overline{(a, b)}=\overline{(a, b)}
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar o axioma do elemento neutro da multiplicação no conjunto dos inteiros construídos como classes de equivalência de pares de naturais. Mais precisamente, provar que existe \overline{(1,0)}\in\mathbb{Z} tal que, para todo \overline{(a,b)}\in\mathbb{Z},
é a forma natural de reproduzir a multiplicação de inteiros quando interpretamos \overline{(a,b)} como o número inteiro a-b. Para ver a intuição: (a-b)(c-d)=ac+bd-(ad+bc), e a classe \overline{(ac+bd,\;ad+bc)} representa exatamente esse inteiro.
Agora, para provar que \overline{(1,0)} é elemento neutro, basta aplicar a definição da multiplicação com (c,d)=(1,0) e verificar que obtemos a mesma classe \overline{(a,b)}.
Passo 3
Calculemos a multiplicação pela direita usando a definição. Seja \overline{(a,b)}\in\mathbb{Z}. Então
Agora calculemos a multiplicação pela esquerda (para garantir que a ordem também funciona; embora a multiplicação seja comutativa, é bom verificar explicitamente neste ponto):
\overline{(1,0)}\cdot\overline{(a,b)} =\overline{\bigl(1\cdot a + 0\cdot b,\;1\cdot b + 0\cdot a\bigr)}.
Comentário didático (mini-aula): por que isso prova que \overline{(1,0)} é o elemento neutro? Lembre-se da definição: um elemento e é neutro para a multiplicação se, para todo x, x\cdot e = e\cdot x = x. Nós calculamos ambas as expressões usando a definição da multiplicação de classes e obtivemos exatamente a mesma classe \overline{(a,b)}. Não foi necessário usar a relação de equivalência porque o par resultante foi literalmente igual ao par inicial (a,b), o que imediatamente implica igualdade das classes.
Exemplo concreto para fixar: tome \overline{(3,1)} (que representa 2). Então