Demonstre os axiomas da multiplicação, para ∀ a, b, c ∈ \mathbb{Z}
Elemento neutro: \exists \overline{(1,0)} \in \mathbb{Z}, tal que \overline{(a, b)} \cdot \overline{(1,0)}=\overline{(1,0)} \cdot \overline{(a, b)}=\overline{(a, b)}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar o axioma do elemento neutro da multiplicação no conjunto dos inteiros construídos como classes de equivalência de pares de naturais. Mais precisamente, provar que existe \overline{(1,0)}\in\mathbb{Z} tal que, para todo \overline{(a,b)}\in\mathbb{Z},
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(1,0)}=\overline{(1,0)}\cdot\overline{(a,b)}=\overline{(a,b)}.
Informações relevantes dadas (ou que precisamos usar):
\text{1) Os inteiros são classes } \overline{(a,b)} \text{ de pares } (a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}.ã
\text{2) A relação de equivalência é }(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.çãêé
\text{3) A multiplicação em classes é dada por } \overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,\;ad+bc)}.çãé
A resolução propriamente dita começa no próximo passo.

Passo 2

Vou explicar por que a definição de multiplicação faz sentido e como usá-la de forma direta neste problema. A definição
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,\;ad+bc)}
é a forma natural de reproduzir a multiplicação de inteiros quando interpretamos \overline{(a,b)} como o número inteiro a-b. Para ver a intuição: (a-b)(c-d)=ac+bd-(ad+bc), e a classe \overline{(ac+bd,\;ad+bc)} representa exatamente esse inteiro.
Agora, para provar que \overline{(1,0)} é elemento neutro, basta aplicar a definição da multiplicação com (c,d)=(1,0) e verificar que obtemos a mesma classe \overline{(a,b)}.

Passo 3

Calculemos a multiplicação pela direita usando a definição. Seja \overline{(a,b)}\in\mathbb{Z}. Então
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(1,0)} =\overline{\bigl(a\cdot 1 + b\cdot 0,\; a\cdot 0 + b\cdot 1\bigr)}.
Agora simplificamos os produtos dentro da classe:
a\cdot 1 + b\cdot 0 = a + 0 = a,
a\cdot 0 + b\cdot 1 = 0 + b = b.
Portanto
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(1,0)}=\overline{(a,b)}.

Passo 4

Agora calculemos a multiplicação pela esquerda (para garantir que a ordem também funciona; embora a multiplicação seja comutativa, é bom verificar explicitamente neste ponto):
\overline{(1,0)}\cdot\overline{(a,b)} =\overline{\bigl(1\cdot a + 0\cdot b,\;1\cdot b + 0\cdot a\bigr)}.
Simplificando,
1\cdot a + 0\cdot b = a,
1\cdot b + 0\cdot a = b,
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\overline{(1,0)}\cdot\overline{(a,b)}=\overline{(a,b)}.

Passo 5

Comentário didático (mini-aula): por que isso prova que \overline{(1,0)} é o elemento neutro? Lembre-se da definição: um elemento e é neutro para a multiplicação se, para todo x, x\cdot e = e\cdot x = x. Nós calculamos ambas as expressões usando a definição da multiplicação de classes e obtivemos exatamente a mesma classe \overline{(a,b)}. Não foi necessário usar a relação de equivalência porque o par resultante foi literalmente igual ao par inicial (a,b), o que imediatamente implica igualdade das classes.
Exemplo concreto para fixar: tome \overline{(3,1)} (que representa 2). Então
\overline{(3,1)}\cdot\overline{(1,0)}=\overline{(3\cdot1+1\cdot0,\;3\cdot0+1\cdot1)}=\overline{(3,1)},
ou seja, multiplicar por \overline{(1,0)} não alterou a classe — como esperamos de um 1.

Passo 6

Conclusão formal: como para todo \overline{(a,b)}\in\mathbb{Z} temos tanto
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(1,0)}=\overline{(a,b)}
quanto
\overline{(1,0)}\cdot\overline{(a,b)}=\overline{(a,b)},
seguimos que \overline{(1,0)} é o elemento neutro da multiplicação em \mathbb{Z} (no modelo de inteiros por classes de pares de naturais).

Resposta

\overline{(a,b)}\cdot\overline{(1,0)}=\overline{(a,b)}
\overline{(1,0)}\cdot\overline{(a,b)}=\overline{(a,b)}

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