Demonstre os axiomas da multiplicação, para ∀ a, b, c ∈ \mathbb{Z} \quad \overline{(a, b)} \cdot[\overline{(c, d)}+\overline{(e, f)}]=\overline{(a, b)} \cdot \overline{(c, d)}+\overline{(a, b)} \cdot \overline{(e, f)}
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a distributividade da multiplicação em relação à adição no anel \mathbb{Z} construído como classes de equivalência de pares. Especificamente, provar que, para quaisquer a,b,c,d,e,f (entendidos aqui como naturais que representam classes inteiras),
Estas definições vêm da ideia de representar inteiros como diferenças e impor que as operações sejam bem definidas nas classes de equivalência. Agora vamos usar exatamente essas definições para provar a igualdade pedida.
Passo 2
Calcular primeiro a soma que está dentro do colchete, usando a definição de adição de classes:
Explicação curta: somar duas classes \overline{(c,d)} e \overline{(e,f)} é somar coordenada a coordenada: primeiro com primeiro, segundo com segundo. (Isso corresponde a somar as diferenças c-d e e-f obtendo (c+e)-(d+f).)
Passo 3
Agora multiplicar \overline{(a,b)} pela soma obtida, usando a definição de multiplicação:
Comparar as duas expressões obtidas para o membro esquerdo (Passo 4) e para o membro direito (Passo 5):
Membro esquerdo:
\overline{\bigl(ac+ae+bd+bf,\;ad+af+bc+be\bigr)}.
Membro direito:
\overline{\bigl(ac+bd+ae+bf,\;ad+bc+af+be\bigr)}.
Como a soma em \mathbb{N} é comutativa e associativa, os termos em cada coordenada são os mesmos, apenas escritos em ordem diferente. Logo as duas pares coordenados são idênticos termo a termo; portanto representam exatamente a mesma classe de equivalência.