Demonstre os axiomas da multiplicação, para ∀ a, b, c ∈ \mathbb{Z}
\quad \overline{(a, b)} \cdot[\overline{(c, d)}+\overline{(e, f)}]=\overline{(a, b)} \cdot \overline{(c, d)}+\overline{(a, b)} \cdot \overline{(e, f)}

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a distributividade da multiplicação em relação à adição no anel \mathbb{Z} construído como classes de equivalência de pares. Especificamente, provar que, para quaisquer a,b,c,d,e,f (entendidos aqui como naturais que representam classes inteiras),
\overline{(a,b)}\cdot\bigl[\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}\bigr] = \overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\cdot\overline{(e,f)}.
Informações e definições relevantes (essas são as regras do jogo; sem elas não dá para provar nada):
  • A relação de equivalência \sim em \mathbb{N}\times\mathbb{N} é dada por
(x,y)\sim (u,v)\quad\text{se, e somente se,}\quad x+v=y+u.
A classe de equivalência de (x,y) é denotada \overline{(x,y)}; ela representa o inteiro x-y.
  • A adição nas classes é definida por
\overline{(x,y)}+\overline{(u,v)}=\overline{(x+u,\;y+v)}.
  • A multiplicação nas classes é definida por
\overline{(x,y)}\cdot\overline{(u,v)}=\overline{(xu+yv,\;xv+yu)}.
Estas definições vêm da ideia de representar inteiros como diferenças e impor que as operações sejam bem definidas nas classes de equivalência. Agora vamos usar exatamente essas definições para provar a igualdade pedida.

Passo 2

Calcular primeiro a soma que está dentro do colchete, usando a definição de adição de classes:
\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}=\overline{(c+e,\;d+f)}.
Explicação curta: somar duas classes \overline{(c,d)} e \overline{(e,f)} é somar coordenada a coordenada: primeiro com primeiro, segundo com segundo. (Isso corresponde a somar as diferenças c-d e e-f obtendo (c+e)-(d+f).)

Passo 3

Agora multiplicar \overline{(a,b)} pela soma obtida, usando a definição de multiplicação:
\overline{(a,b)}\cdot\bigl[\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}\bigr] = \overline{(a,b)}\cdot\overline{(c+e,\;d+f)}.
Pela definição de multiplicação, isso vale
\overline{\bigl(a(c+e)+b(d+f),\;a(d+f)+b(c+e)\bigr)}.

Passo 4

Expandir os produtos nas coordenadas (usando distributividade e comutatividade em \mathbb{N}, propriedades básicas que já conhecemos):
\overline{\bigl(a(c+e)+b(d+f),\;a(d+f)+b(c+e)\bigr)} = \overline{\bigl(ac+ae+bd+bf,\;ad+af+bc+be\bigr)}.
Aqui apenas escrevemos cada termo a(c+e) como ac+ae e b(d+f) como bd+bf, idem no segundo componente.

Passo 5

Agora calcular o lado direito separadamente: primeiro os dois produtos individuais e depois a soma entre eles.
Produto 1:
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,\;ad+bc)}.
Produto 2:
\overline{(a,b)}\cdot\overline{(e,f)}=\overline{(ae+bf,\;af+be)}.
Somando essas duas classes (lembrando que a soma de classes soma coordenada a coordenada) obtemos
\overline{(ac+bd,\;ad+bc)}+\overline{(ae+bf,\;af+be)} = \overline{\bigl(ac+bd+ae+bf,\;ad+bc+af+be\bigr)}.

Passo 6

Comparar as duas expressões obtidas para o membro esquerdo (Passo 4) e para o membro direito (Passo 5):
Membro esquerdo:
\overline{\bigl(ac+ae+bd+bf,\;ad+af+bc+be\bigr)}.
Membro direito:
\overline{\bigl(ac+bd+ae+bf,\;ad+bc+af+be\bigr)}.
Como a soma em \mathbb{N} é comutativa e associativa, os termos em cada coordenada são os mesmos, apenas escritos em ordem diferente. Logo as duas pares coordenados são idênticos termo a termo; portanto representam exatamente a mesma classe de equivalência.

Passo 7

Concluir que as duas classes são iguais:
\overline{\bigl(a(c+e)+b(d+f),\;a(d+f)+b(c+e)\bigr)} = \overline{\bigl(ac+bd+ae+bf,\;ad+bc+af+be\bigr)}.
Assim a igualdade pedida vale, porque ambas as expressões reduzem-se à mesma classe.

Resposta

\overline{(a,b)}\cdot\bigl[\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}\bigr] = \overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\cdot\overline{(e,f)}

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