Demonstre os axiomas da multiplicação, para ∀ a, b, c ∈ \mathbb{Z} \quad[\overline{(a, b)}+\overline{(c, d)}] \cdot \overline{(e, f)}=\overline{(a, b)} \cdot \overline{(e, f)}+\overline{(c, d)} \cdot \overline{(e, f)}
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a lei distributiva da multiplicação sobre a adição no conjunto dos inteiros construídos como classes de equivalência de pares de naturais. Mais precisamente, provar que, para quaisquer \overline{(a,b)},\overline{(c,d)},\overline{(e,f)} (com a,b,c,d,e,f\in\mathbb{N} representando classes em \mathbb{Z}),
Informações/definições que nos são relevantes e que o enunciado usa:
\text{(i) a relação de equivalência: }(x,y)\sim(x',y')\iff x+y'=y+x';çãê
\text{(ii) a adição entre classes: }\overline{(x,y)}+\overline{(u,v)}=\overline{(x+u,\;y+v)};çã
\text{(iii) a multiplicação entre classes: }\overline{(x,y)}\cdot\overline{(u,v)}=\overline{(xu+yv,\;xv+yu)}.çã
Observação importante: para mostrar que duas classes são iguais basta mostrar que os representantes escolhidos são iguais como pares (ou, mais geralmente, que são equivalentes segundo (i)). Vamos usar as propriedades usuais de \mathbb{N} (associatividade e comutatividade da adição, associatividade e comutatividade da multiplicação e distributividade na \mathbb{N}) livremente quando arranjarmos somas e produtos.
Passo 2
Escrevemos explicitamente a expressão do membro esquerdo usando a definição de adição e depois a definição de multiplicação de classes.
Primeiro, pela definição de adição,
Comparação das duas expressões finais obtidas nos membros esquerdo e direito:
LHS (do Passo 3):
\overline{\bigl(ae+ce+bf+df,\; af+cf+be+de\bigr)}
RHS (do Passo 4):
\overline{\bigl(ae+bf+ce+df,\; af+be+cf+de\bigr)}
Observação: os componentes são somas dos mesmos quatro termos \{ae,\,ce,\,bf,\,df\} na primeira componente e dos mesmos quatro termos \{af,\,cf,\,be,\,de\} na segunda componente. Pela comutatividade e associatividade da adição em \mathbb{N} podemos reordenar os somandos sem alterar o valor da soma; assim
ae+ce+bf+df = ae+bf+ce+df
e
af+cf+be+de = af+be+cf+de.
Portanto os pares que representam LHS e RHS têm as mesmas componentes term a term e são exatamente o mesmo par em \mathbb{N}\times\mathbb{N}. Consequentemente as suas classes são iguais:
Comentário final didático e encorajador: a essência é sempre aplicar as definições de soma e produto de classes e usar as propriedades elementares da aritmética em \mathbb{N} para reorganizar os termos; a igualdade aparece porque ambos os lados geram exatamente as mesmas somas de produtos em cada componente.