Demonstre as propriedades da adição, \forall a, b, c \in \mathbb{Z}
Associatividade: \overline{(a, b)}+[\overline{(c, d)}+\overline{(e, f)}]=[\overline{(a, b)}+\overline{(c, d)}]+\overline{(e, f)}

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a propriedade de associatividade da adição nos inteiros construídos por classes de pares, isto é mostrar que, para quaisquer representantes, temos
\overline{(a,b)}+[\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}]=[\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}]+\overline{(e,f)}.
Informações e definições que nos foram dadas (ou que usamos para resolver):
  • Cada inteiro é uma classe de equivalência de pares de naturais; escrevemos \overline{(x,y)} para a classe que contém o par (x,y).
  • A relação de equivalência \sim é dada por
(x,y)\sim(u,v)\quad\text{se, e somente se,}\quad x+v=y+u.
  • A adição entre classes é definida por
\overline{(x,y)}+\overline{(u,v)}=\overline{(x+u,\;y+v)}.
  • Vamos trabalhar com representantes arbitrários (a,b), (c,d), (e,f) e usar propriedades elementares da adição em \mathbb{N}: comutatividade e associatividade.

Passo 2

Explicando conceitos usados (de forma didática):
  • O que significa \overline{(x,y)}: é o conjunto de todos os pares (u,v) tais que (u,v)\sim(x,y), ou seja u+y=v+x. Quando escrevemos uma igualdade entre classes como \overline{(p,q)}=\overline{(r,s)} isso quer dizer que (p,q)\sim(r,s).
  • A definição da soma de classes pega representantes e soma componente a componente: somamos as primeiras coordenadas e somamos as segundas coordenadas. Para que isso faça sentido independentemente do representante escolhido, é preciso que a soma esteja bem-definida (isto significa que se mudarmos representantes, obtemos a mesma classe). Vou mostrar rapidamente por que a soma é bem-definida, pois isso garante que a associatividade não dependa de quais representantes escolhemos:
    • Suponha (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d'). Isso significa que \,a+b'=b+a'\, e \,c+d'=d+c'\,.
    • Então, usando associatividade e comutatividade em \mathbb{N},
    (a+c)+(b'+d')=(a+b')+(c+d')=(b+a')+(d+c')=(b+d)+(a'+c').
    • Portanto (a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d'), o que mostra que \overline{(a+c,b+d)}=\overline{(a'+c',b'+d')}. Assim, a soma de classes é bem-definida.

Passo 3

Calcule a parte interna do membro esquerdo passo a passo:
  • Primeiro calcule \overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}. Pela definição da adição de classes:
\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}=\overline{(c+e,\;d+f)}.
  • Agora some \overline{(a,b)} a esse resultado:
\overline{(a,b)}+\big(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}\big) =\overline{(a,b)}+\overline{(c+e,\;d+f)}.
  • Aplicando a definição de novo (somando as componentes):
\overline{(a,b)}+\overline{(c+e,\;d+f)}=\overline{\big(a+(c+e),\;b+(d+f)\big)}.
  • Usando a associatividade da soma em \mathbb{N} (isto é, (a+(c+e))=(a+c)+e e b+(d+f)=(b+d)+f), reescrevemos:
\overline{\big(a+(c+e),\;b+(d+f)\big)}=\overline{(a+c+e,\;b+d+f)}.

Passo 4

Calcule o membro direito da mesma forma:
  • Primeiro calcule \overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}:
\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a+c,\;b+d)}.
  • Agora some \overline{(e,f)} a esse resultado:
\big(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}\big)+\overline{(e,f)} =\overline{(a+c,\;b+d)}+\overline{(e,f)}.
  • Aplicando a definição de soma:
\overline{(a+c,\;b+d)}+\overline{(e,f)}=\overline{\big((a+c)+e,\;(b+d)+f\big)}.
  • Usando associatividade em \mathbb{N}, obtemos
\overline{\big((a+c)+e,\;(b+d)+f\big)}=\overline{(a+c+e,\;b+d+f)}.

Passo 5

Conclusão lógica:
  • Do Passo 3 obtivemos
\overline{(a,b)}+\big(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}\big)=\overline{(a+c+e,\;b+d+f)}.
  • Do Passo 4 obtivemos
\big(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}\big)+\overline{(e,f)}=\overline{(a+c+e,\;b+d+f)}.
  • Como ambos os lados são iguais à mesma classe \overline{(a+c+e,\;b+d+f)}, eles são iguais entre si. Logo a adição é associativa nas classes de inteiros construídas dessa forma.
  • Observação amiga: se alguém escolher outros representantes das mesmas classes, a bem-definidade mostrada no Passo 2 garante que o resultado final continua sendo a mesma classe — então a associatividade vale independentemente da escolha de representantes.

Resposta

\overline{(a,b)}+[\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}]=[\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}]+\overline{(e,f)}=\overline{(a+c+e,\;b+d+f)}

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