Demonstre as propriedades da adição,
Associatividade:
Associatividade:
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a propriedade de associatividade da adição nos inteiros construídos por classes de pares, isto é mostrar que, para quaisquer representantes, temos
Informações e definições que nos foram dadas (ou que usamos para resolver):
- Cada inteiro é uma classe de equivalência de pares de naturais; escrevemos
para a classe que contém o par . - A relação de equivalência
é dada por
- A adição entre classes é definida por
- Vamos trabalhar com representantes arbitrários
e usar propriedades elementares da adição em : comutatividade e associatividade.
Passo 2
Explicando conceitos usados (de forma didática):
- O que significa
: é o conjunto de todos os pares tais que , ou seja . Quando escrevemos uma igualdade entre classes como isso quer dizer que . - A definição da soma de classes pega representantes e soma componente a componente: somamos as primeiras coordenadas e somamos as segundas coordenadas. Para que isso faça sentido independentemente do representante escolhido, é preciso que a soma esteja bem-definida (isto significa que se mudarmos representantes, obtemos a mesma classe). Vou mostrar rapidamente por que a soma é bem-definida, pois isso garante que a associatividade não dependa de quais representantes escolhemos:
- Suponha
e . Isso significa que e . - Então, usando associatividade e comutatividade em
,
- Portanto
, o que mostra que . Assim, a soma de classes é bem-definida.
- Suponha
Passo 3
Calcule a parte interna do membro esquerdo passo a passo:
- Primeiro calcule
. Pela definição da adição de classes:
- Agora some
a esse resultado:
- Aplicando a definição de novo (somando as componentes):
- Usando a associatividade da soma em
(isto é, e ), reescrevemos:
Passo 4
Calcule o membro direito da mesma forma:
- Primeiro calcule
:
- Agora some
a esse resultado:
- Aplicando a definição de soma:
- Usando associatividade em
, obtemos
Passo 5
Conclusão lógica:
- Do Passo 3 obtivemos
- Do Passo 4 obtivemos
- Como ambos os lados são iguais à mesma classe
, eles são iguais entre si. Logo a adição é associativa nas classes de inteiros construídas dessa forma. - Observação amiga: se alguém escolher outros representantes das mesmas classes, a bem-definidade mostrada no Passo 2 garante que o resultado final continua sendo a mesma classe — então a associatividade vale independentemente da escolha de representantes.