Demonstre as propriedades da adição, \forall a, b, c \in \mathbb{Z}
Elemento neutro: \exists \overline{(0,0)} \in \mathbb{Z}, tal que \overline{(a, b)}+\overline{(0,0)}=\overline{(0,0)}+\overline{(a, b)}=\overline{(a, b)}
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a propriedade de elemento neutro para a adição em \mathbb{Z}, onde os inteiros foram construídos como classes de equivalência de pares de naturais. Informações relevantes que vamos usar (assumidas como parte da construção padrão):
Os elementos de \mathbb{Z} são classes de equivalência \overline{(a,b)} com (a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}.
A relação de equivalência \sim é dada por (a,b)\sim(c,d) se, e somente se, a+d=b+c.
Vou explicar brevemente o que significa igualdade entre classes de equivalência e por que trabalhar com representantes funciona. Duas classes \overline{(x,y)} e \overline{(u,v)} são iguais quando (x,y)\sim(u,v), isto é, quando
x+v = y+u.
Quando mostro que duas classes são iguais, mostro essa igualdade de somas de naturais. Também uso que a adição em \mathbb{N} é associativa e comutativa (propriedades básicas dos naturais que já sabemos).
Passo 3
Calcule a soma da classe \overline{(a,b)} com a classe candidata \overline{(0,0)} usando a definição de adição:
De novo usei 0+a=a e 0+b=b nos naturais. Assim a soma à esquerda também retorna \overline{(a,b)}.
Passo 5
Há um detalhe importante: a classe \overline{(0,0)} tem outros representantes além de (0,0), por exemplo qualquer par (m,m) pertence à mesma classe (pois m+0 = m+0). Temos que garantir que, se alguém usar outro representante (m,m) de \overline{(0,0)}, o resultado continua sendo \overline{(a,b)}. Calculo:
Agora mostro que \overline{(a+m,\; b+m)}=\overline{(a,b)}. Pela definição da relação de equivalência precisamos verificar
(a+m)+b = (b+m)+a.
Usando associatividade e comutatividade em \mathbb{N}:
(a+m)+b = a+(m+b) = a+(b+m) = (a+b)+m
e
(b+m)+a = b+(m+a) = b+(a+m) = (b+a)+m.
Como a+b=b+a nos naturais, concluímos (a+m)+b=(b+m)+a. Portanto \overline{(a+m,\; b+m)}=\overline{(a,b)}. Isso mostra que qualquer representante da classe de zero funciona como neutro.
Passo 6
Concluímos: a classe \overline{(0,0)} é realmente elemento neutro para a adição em \mathbb{Z}. Demonstramos explicitamente que, para todo \overline{(a,b)}\in\mathbb{Z},