Demonstre as propriedades da adição, \forall a, b, c \in \mathbb{Z}
Lei do cancelamento: Dados \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z} e \alpha+\beta=\gamma+\beta, então \alpha=\gamma

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a Lei do cancelamento: dados \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Z} com \alpha+\beta=\gamma+\beta, provar que \alpha=\gamma.
Informações fornecidas: \alpha+\beta=\gamma+\beta e que \alpha,\beta,\gamma são inteiros. A missão é deduzir a igualdade entre \alpha e \gamma.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas da adição em \mathbb{Z} que usaremos (vou explicar cada uma):
  • Existe um elemento neutro, chamado zero, tal que para todo x\in\mathbb{Z} vale x+0=0+x=x. Aqui 0 é o elemento neutro aditivo. Isso significa que somar 0 a qualquer inteiro não muda o inteiro.
  • Para todo x\in\mathbb{Z} existe um elemento chamado inverso aditivo, denotado por -x, tal que x+(-x)=(-x)+x=0. Ou seja, cada inteiro tem um “oposto” que anula a soma.
  • A adição é associativa: para todo x,y,z\in\mathbb{Z} vale (x+y)+z = x+(y+z). Isso permite rearranjar parênteses sem mudar o resultado.
  • A adição é fechada em \mathbb{Z}: somas de inteiros são inteiros (garante que todas as operações abaixo permanecem em \mathbb{Z}).
Vou usar essas propriedades passo a passo para justificar cada transformação algébrica.

Passo 3

Ideia do método: se temos \alpha+\beta=\gamma+\beta, podemos somar o inverso aditivo de \beta, isto é -\beta, em ambos os lados. Somar a mesma coisa aos dois lados é uma operação permitida porque nos mantém em \mathbb{Z} e respeita igualdade; depois usamos associatividade e a propriedade do inverso para simplificar. Agora faço isso formalmente.

Passo 4

Aplique a soma de -\beta aos dois lados da igualdade dada:
(\alpha+\beta)+(-\beta) = (\gamma+\beta)+(-\beta).
Isso é permitido porque se X=Y então X+Z=Y+Z para qualquer Z (somar o mesmo termo aos dois lados preserva a igualdade). Aqui tomamos Z=-\beta.

Passo 5

Use a associatividade da adição para reagrupar os termos em cada lado:
\alpha+(\beta+(-\beta)) = \gamma+(\beta+(-\beta)).
A mudança de parênteses é válida por associatividade: (\alpha+\beta)+(-\beta)=\alpha+(\beta+(-\beta)) e análogo no outro lado.

Passo 6

Use a definição de inverso aditivo: \beta+(-\beta)=0. Substituindo isso na igualdade do passo anterior obtemos
\alpha+0 = \gamma+0.

Passo 7

Use a propriedade do elemento neutro: x+0=x para todo x. Aplicando em cada lado dá
\alpha = \gamma.
Essa é a conclusão desejada: a presença do mesmo \beta somado em ambos os lados pode ser “cancelada” porque existe o inverso -\beta que, somado, produz zero e o zero é neutro.

Resposta

\alpha=\gamma

Exercícios relacionados