Demonstre as propriedades da adição,
Lei do cancelamento: Dados
e
, então
Lei do cancelamento: Dados
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a Lei do cancelamento: dados
com
, provar que
.
Informações fornecidas: e que
são inteiros. A missão é deduzir a igualdade entre
e
.
Informações fornecidas:
Passo 2
Relembrando propriedades básicas da adição em
que usaremos (vou explicar cada uma):
- Existe um elemento neutro, chamado zero, tal que para todo
vale . Aqui é o elemento neutro aditivo. Isso significa que somar a qualquer inteiro não muda o inteiro. - Para todo
existe um elemento chamado inverso aditivo, denotado por , tal que . Ou seja, cada inteiro tem um “oposto” que anula a soma. - A adição é associativa: para todo
vale . Isso permite rearranjar parênteses sem mudar o resultado. - A adição é fechada em
: somas de inteiros são inteiros (garante que todas as operações abaixo permanecem em ).
Vou usar essas propriedades passo a passo para justificar cada transformação algébrica.
Passo 3
Ideia do método: se temos
, podemos somar o inverso aditivo de
, isto é
, em ambos os lados. Somar a mesma coisa aos dois lados é uma operação permitida porque nos mantém em
e respeita igualdade; depois usamos associatividade e a propriedade do inverso para simplificar. Agora faço isso formalmente.
Passo 4
Aplique a soma de
aos dois lados da igualdade dada:
Isso é permitido porque se
então
para qualquer
(somar o mesmo termo aos dois lados preserva a igualdade). Aqui tomamos
.
Passo 5
Use a associatividade da adição para reagrupar os termos em cada lado:
A mudança de parênteses é válida por associatividade:
e análogo no outro lado.
Passo 6
Use a definição de inverso aditivo:
. Substituindo isso na igualdade do passo anterior obtemos
Passo 7
Use a propriedade do elemento neutro:
para todo
. Aplicando em cada lado dá
Essa é a conclusão desejada: a presença do mesmo
somado em ambos os lados pode ser “cancelada” porque existe o inverso
que, somado, produz zero e o zero é neutro.