Demonstre que, se
e
são vetores quaisquer, então:
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
onde
e
são vetores quaisquer. As informações dadas são apenas que
e
são vetores (num espaço euclidiano com produto escalar usual, por exemplo). A tarefa é provar a igualdade proposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o significado de
para um vetor qualquer
. Definimos
onde
é o produto escalar padrão. O produto escalar tem as propriedades que vamos usar:
- é bilinear:
e ; - é simétrico:
.
Essas propriedades permitem expandir normas de soma e diferença de vetores. Vou mostrar como expandir passo a passo.
Passo 3
Expandimos
usando a definição de norma:
Pelo produto escalar bilinear:
Portanto
Passo 4
Agora expandimos
:
Aplicando bilinearidade:
Logo
Passo 5
Calculemos a combinação do lado direito da identidade proposta:
Substituindo as expansões dos passos anteriores:
Simplificando termos que se cancelam:
Portanto o lado direito da identidade proposta é sempre igual a
.
Passo 6
Compare o resultado do passo anterior com o lado esquerdo da identidade proposta, que é
. Em geral não vale
Um contraexemplo simples mostra a falsidade da igualdade original: tome
e
. Então o lado esquerdo é
, enquanto o lado direito é
. Logo a igualdade proposta é falsa.
Passo 7
Existe, no entanto, uma identidade correta e muito conhecida (lei do paralelogramo). Somando as expansões dos passos 3 e 4 obtemos:
que simplifica para
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma frequentemente usada:
Esta é a identidade correta que relaciona as normas de
,
,
e
.
Resposta
A igualdade proposta é falsa.
A identidade correta é .
A identidade correta é