Demonstre que, se vec{v} e vec{w} são vetores quaisquer, então:
\|\vec{v}\|^{2}+\|\vec{w}\|^{2}=\frac{1}{2}\left(\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}-\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\|\vec{v}\|^{2}+\|\vec{w}\|^{2}=\frac{1}{2}\left(\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}-\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}\right),
onde \vec{v} e \vec{w} são vetores quaisquer. As informações dadas são apenas que \vec{v} e \vec{w} são vetores (num espaço euclidiano com produto escalar usual, por exemplo). A tarefa é provar a igualdade proposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o significado de \|\vec{u}\|^{2} para um vetor qualquer \vec{u}. Definimos
\|\vec{u}\|^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u},
onde \cdot é o produto escalar padrão. O produto escalar tem as propriedades que vamos usar:
  • é bilinear: \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c} e (\alpha \vec{a})\cdot\vec{b}=\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b});
  • é simétrico: \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
Essas propriedades permitem expandir normas de soma e diferença de vetores. Vou mostrar como expandir passo a passo.

Passo 3

Expandimos \|\vec{v}+\vec{w}\|^{2} usando a definição de norma:
\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}=(\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{v}+\vec{w}).
Pelo produto escalar bilinear:
(\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{v}+\vec{w}) =\vec{v}\cdot\vec{v}+2\,\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{w}.
Portanto
\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}=\|\vec{v}\|^{2}+2\,\vec{v}\cdot\vec{w}+\|\vec{w}\|^{2}.

Passo 4

Agora expandimos \|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}:
\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}=(\vec{v}-\vec{w})\cdot(\vec{v}-\vec{w}).
Aplicando bilinearidade:
(\vec{v}-\vec{w})\cdot(\vec{v}-\vec{w}) =\vec{v}\cdot\vec{v}-2\,\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{w}.
Logo
\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}=\|\vec{v}\|^{2}-2\,\vec{v}\cdot\vec{w}+\|\vec{w}\|^{2}.

Passo 5

Calculemos a combinação do lado direito da identidade proposta:
\frac{1}{2}\left(\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}-\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}\right).
Substituindo as expansões dos passos anteriores:
\frac{1}{2}\Big((\|\vec{v}\|^{2}+2\,\vec{v}\cdot\vec{w}+\|\vec{w}\|^{2})-(\|\vec{v}\|^{2}-2\,\vec{v}\cdot\vec{w}+\|\vec{w}\|^{2})\Big).
Simplificando termos que se cancelam:
\frac{1}{2}\big(4\,\vec{v}\cdot\vec{w}\big)=2\,\vec{v}\cdot\vec{w}.
Portanto o lado direito da identidade proposta é sempre igual a 2\,\vec{v}\cdot\vec{w}.

Passo 6

Compare o resultado do passo anterior com o lado esquerdo da identidade proposta, que é \|\vec{v}\|^{2}+\|\vec{w}\|^{2}. Em geral não vale
\|\vec{v}\|^{2}+\|\vec{w}\|^{2}=2\,\vec{v}\cdot\vec{w}.
Um contraexemplo simples mostra a falsidade da igualdade original: tome \vec{v}=\vec{0} e \vec{w}\neq\vec{0}. Então o lado esquerdo é \|\vec{w}\|^{2}>0, enquanto o lado direito é 2\,\vec{0}\cdot\vec{w}=0. Logo a igualdade proposta é falsa.

Passo 7

Existe, no entanto, uma identidade correta e muito conhecida (lei do paralelogramo). Somando as expansões dos passos 3 e 4 obtemos:
\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}+\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2} =(\|\vec{v}\|^{2}+2\vec{v}\cdot\vec{w}+\|\vec{w}\|^{2}) +(\|\vec{v}\|^{2}-2\vec{v}\cdot\vec{w}+\|\vec{w}\|^{2}),
que simplifica para
\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}+\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}=2\|\vec{v}\|^{2}+2\|\vec{w}\|^{2}.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos a forma frequentemente usada:
\|\vec{v}\|^{2}+\|\vec{w}\|^{2}=\tfrac{1}{2}\left(\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}+\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}\right).
Esta é a identidade correta que relaciona as normas de \vec{v}, \vec{w}, \vec{v}+\vec{w} e \vec{v}-\vec{w}.

Resposta

A igualdade proposta é falsa.
A identidade correta é \displaystyle \|\vec{v}\|^{2}+\|\vec{w}\|^{2}=\tfrac{1}{2}\left(\|\vec{v}+\vec{w}\|^{2}+\|\vec{v}-\vec{w}\|^{2}\right).

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