A densidade de uma amostra de ar é de 1,205 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, e seu módulo de elasticidade volumétrica vale 1,42 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. a) Determine a velocidade do som na amostra de ar. b) Determine a temperatura da amostra de ar.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a velocidade do som na amostra de ar.
  • (b) Determinar a temperatura da amostra de ar.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • densidade do ar: \rho = 1,205\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • módulo de elasticidade volumétrica (bulk modulus) do ar: E = 1,42\times10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Passo 2

Conceito e fórmula para a velocidade do som em um meio elástico:
  • Para ondas sonoras de pequena amplitude em um meio homogêneo e isotrópico, a velocidade do som é dada por
v=\sqrt{\dfrac{E}{\rho}},
onde:
  • v é a velocidade do som (em \mathrm{m/s});
  • E é o módulo de elasticidade volumétrica (também chamado de bulk modulus), medida da resistência do meio à compressão (em \mathrm{N/m^{2}});
  • \rho é a densidade do meio (em \mathrm{kg/m^{3}}).
Explicando em palavras: o módulo E diz quão “duro” é o meio quando comprimido; quanto maior E e quanto menor a massa por volume \rho, mais rápido a onda se propaga.
Agora aplicamos a fórmula com os valores dados:
v=\sqrt{\dfrac{1,42\times10^{5}}{1,205}}.
Primeiro calculamos o quadrado da velocidade:
v^{2}=\dfrac{1,42\times10^{5}}{1,205}\approx 1,17842\times10^{5}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Tirando a raiz quadrada:
v\approx 343{,}3\\ \mathrm{m/s}.
(Esboço do cálculo: \dfrac{1{,}42\times10^{5}}{1{,}205}\approx117\,842 e \sqrt{117\,842}\approx343{,}3.)

Passo 3

Relação entre velocidade do som e temperatura para um gás ideal:
  • Para um gás ideal em que as oscilações sonoras são rápidas e, portanto, adiabáticas, vale
v=\sqrt{\gamma R_{\text{espec}} T},
onde:
  • \gamma é a razão de capacidades caloríficas adiabáticas \gamma=\dfrac{C_{p}}{C_{v}} (para o ar seco, \gamma\approx1{,}4);
  • R_{\text{espec}} é a constante de gás específica do ar (razão entre a constante universal dos gases e a massa molar do ar), valendo R_{\text{espec}}\approx287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Desse fórmula isolamos T:
T=\dfrac{v^{2}}{\gamma R_{\text{espec}}}.
Agora usamos o valor encontrado de v e os parâmetros do ar:
T=\dfrac{(343{,}3)^{2}}{1{,}4\cdot287}.
Já temos (343{,}3)^{2}\approx1{,}17842\times10^{5}. Portanto
T\approx\dfrac{1{,}17842\times10^{5}}{1{,}4\cdot287}=\dfrac{1{,}17842\times10^{5}}{401{,}8}\approx293{,}3\\ \mathrm{K}.
Converter para Celsius (pois normalmente se pede temperatura prática):
T_{\mathrm{C}}=T-273{,}15\approx293{,}3-273{,}15\approx20{,}1\\ ^\circ\mathrm{C}.
Comentário amigo: o valor obtido está em torno de 20^\circ\mathrm{C}, o que faz sentido para um ar à temperatura ambiente — bom sinal de que os números estão razoáveis.

Passo 4

Resumo do raciocínio:
  • Usei a relação geral v=\sqrt{E/\rho} (que vale para ondas sonoras em um meio elástico) para achar a velocidade;
  • Em seguida usei a relação específica para gases v=\sqrt{\gamma R_{\text{espec}}T} para obter a temperatura, adotando \gamma=1{,}4 e R_{\text{espec}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} para o ar.

Resposta

v\approx 343{,}3\\ \mathrm{m/s}
T\approx 293{,}3\\ \mathrm{K}\\ \text{(} \approx 20{,}1^\circ\mathrm{C}\text{)}

Exercícios relacionados