A densidade de uma amostra de ar é de
, e seu módulo de elasticidade volumétrica vale
. a) Determine a velocidade do som na amostra de ar. b) Determine a temperatura da amostra de ar.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a velocidade do som na amostra de ar.
- (b) Determinar a temperatura da amostra de ar.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
- densidade do ar:
; - módulo de elasticidade volumétrica (bulk modulus) do ar:
.
Passo 2
Conceito e fórmula para a velocidade do som em um meio elástico:
- Para ondas sonoras de pequena amplitude em um meio homogêneo e isotrópico, a velocidade do som é dada por
onde:
-
é a velocidade do som (em ); -
é o módulo de elasticidade volumétrica (também chamado de bulk modulus), medida da resistência do meio à compressão (em ); -
é a densidade do meio (em ).
Explicando em palavras: o módulo
diz quão “duro” é o meio quando comprimido; quanto maior
e quanto menor a massa por volume
, mais rápido a onda se propaga.
Agora aplicamos a fórmula com os valores dados:
Primeiro calculamos o quadrado da velocidade:
Tirando a raiz quadrada:
(Esboço do cálculo:
e
.)
Passo 3
Relação entre velocidade do som e temperatura para um gás ideal:
- Para um gás ideal em que as oscilações sonoras são rápidas e, portanto, adiabáticas, vale
onde:
-
é a razão de capacidades caloríficas adiabáticas (para o ar seco, ); -
é a constante de gás específica do ar (razão entre a constante universal dos gases e a massa molar do ar), valendo ; -
é a temperatura absoluta em kelvin ( ).
Desse fórmula isolamos
:
Agora usamos o valor encontrado de
e os parâmetros do ar:
Já temos
. Portanto
Converter para Celsius (pois normalmente se pede temperatura prática):
Comentário amigo: o valor obtido está em torno de
, o que faz sentido para um ar à temperatura ambiente — bom sinal de que os números estão razoáveis.
Passo 4
Resumo do raciocínio:
- Usei a relação geral
(que vale para ondas sonoras em um meio elástico) para achar a velocidade; - Em seguida usei a relação específica para gases
para obter a temperatura, adotando e para o ar.