Descreva o conjunto
como múltiplo de um único número, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede que ele seja reescrito como múltiplos de um único número. Mais precisamente:
- Dados:
. - Pedido: encontrar
tal que (ou seja, mostrar que é o conjunto de todos os múltiplos de um único inteiro ).
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar (explicada de forma clara): para dois inteiros
e
não ambos zero, o conjunto de todas as combinações inteiras
(com
) é exatamente o conjunto dos múltiplos do máximo divisor comum de
e
. Em símbolos,
Vou mostrar isso no caso concreto
,
provando as duas inclusões necessárias:
- Todo elemento da forma
é múltiplo de . - Todo múltiplo de
é da forma .
Passo 3
Calcular o máximo divisor comum
pelo algoritmo de Euclides:
Como o resto ficou
na segunda linha,
.
Passo 4
Provar
: como
divide
e também divide
, então para quaisquer
temos que
divide
e
divide
; portanto
divide a soma
. Logo todo elemento de
é múltiplo de
, isto é,
Passo 5
Provar
: é suficiente mostrar que
pertence a
, porque então qualquer múltiplo
será combinação inteira de
e
multiplicando essa combinação por
. Encontramos explicitamente coeficientes inteiros que geram
:
Portanto
. Agora, para qualquer
,
logo
. Assim todos os múltiplos de
estão em
, ou seja,
Passo 6
Concluindo pelas duas inclusões mostradas em Passo 4 e Passo 5, tem-se igualdade: