Descreva o conjunto A=\{12 m+18 n: m, n \in \mathbb{Z}\} como múltiplo de um único número, ou seja, A=k \mathbb{Z}, k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto A e pede que ele seja reescrito como múltiplos de um único número. Mais precisamente:
  • Dados: A=\{12m+18n : m,n\in\mathbb{Z}\}.
  • Pedido: encontrar k\in\mathbb{Z} tal que A = k\mathbb{Z} (ou seja, mostrar que A é o conjunto de todos os múltiplos de um único inteiro k).

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar (explicada de forma clara): para dois inteiros a e b não ambos zero, o conjunto de todas as combinações inteiras am+bn (com m,n\in\mathbb{Z}) é exatamente o conjunto dos múltiplos do máximo divisor comum de a e b. Em símbolos,
\{am+bn : m,n\in\mathbb{Z}\} = \gcd(a,b)\,\mathbb{Z}.
Vou mostrar isso no caso concreto a=12, b=18 provando as duas inclusões necessárias:
  1. Todo elemento da forma 12m+18n é múltiplo de \gcd(12,18).
  2. Todo múltiplo de \gcd(12,18) é da forma 12m+18n.

Passo 3

Calcular o máximo divisor comum \gcd(12,18) pelo algoritmo de Euclides:
18 = 12\cdot 1 + 6,
12 = 6\cdot 2 + 0.
Como o resto ficou 0 na segunda linha, \gcd(12,18)=6.

Passo 4

Provar A \subseteq 6\mathbb{Z}: como 6 divide 12 e também divide 18, então para quaisquer m,n\in\mathbb{Z} temos que 6 divide 12m e 6 divide 18n; portanto 6 divide a soma 12m+18n. Logo todo elemento de A é múltiplo de 6, isto é,
A \subseteq 6\mathbb{Z}.

Passo 5

Provar 6\mathbb{Z} \subseteq A: é suficiente mostrar que 6 pertence a A, porque então qualquer múltiplo 6t será combinação inteira de 12 e 18 multiplicando essa combinação por t. Encontramos explicitamente coeficientes inteiros que geram 6:
6 = 18 - 12 = 12\cdot(-1) + 18\cdot 1.
Portanto 6\in A. Agora, para qualquer t\in\mathbb{Z},
6t = t\cdot 6 = t\big(12\cdot(-1) + 18\cdot 1\big) = 12\cdot(-t) + 18\cdot t,
logo 6t\in A. Assim todos os múltiplos de 6 estão em A, ou seja,
6\mathbb{Z} \subseteq A.

Passo 6

Concluindo pelas duas inclusões mostradas em Passo 4 e Passo 5, tem-se igualdade:
A = 6\mathbb{Z}.

Resposta

6\mathbb{Z}

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