Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada. \left(\begin{array}{llll}1 & 3 & -3 & 7 \\\\ 0 & 1 & -4 & 5\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado nos dá que a matriz de coeficientes, por operações elementares por linhas, é equivalente à matriz
Pede-se: descrever todas as soluções do sistema linear homogêneo correspondente, na forma vetorial paramétrica.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Trata‑se de um sistema homogêneo (termos independentes iguais a zero).
Há 4 incógnitas que chamaremos de x_1,x_2,x_3,x_4.
A matriz apresentada já está em forma de linhas que correspondem às equações lineares equivalentes do sistema.]
Passo 2
Escrevendo as equações que correspondem às linhas da matriz (pegando os coeficientes diretamente da matriz dada):
Explicação curta do porquê: cada linha da matriz fornece os coeficientes de uma equação linear homogênea na ordem (x_1,x_2,x_3,x_4).]
Passo 3
Identificar variáveis líderes (pivot) e variáveis livres:
A primeira linha tem pivô na coluna 1, portanto x_1 é variável líder.
A segunda linha tem pivô na coluna 2, portanto x_2 é variável líder.
As colunas 3 e 4 não têm pivô; logo x_3 e x_4 são variáveis livres.
Explicação didática: variáveis líderes são aquelas que aparecem com coeficiente 1 na posição de pivô e podem ser expressas em função das variáveis livres. O número de variáveis livres é o grau de liberdade da solução (a dimensão do espaço solução).
Passo 4
Resolver as equações em função das variáveis livres. Da segunda equação (mais simples) temos:
Explicação didática final: isso mostra que o espaço das soluções é um subespaço de dimensão 2\] (duas variáveis livres) e os vetores \(\begin{pmatrix}-9\\\ 4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}8\\\ -5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} formam uma base desse subespaço (são vetores geradores lineares independentes).]