Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada.
\left(\begin{array}{llll}1 & 3 & -3 & 7 \\\\ 0 & 1 & -4 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá que a matriz de coeficientes, por operações elementares por linhas, é equivalente à matriz
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 & 7\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 5 \end{pmatrix}.
Pede-se: descrever todas as soluções do sistema linear homogêneo correspondente, na forma vetorial paramétrica.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Trata‑se de um sistema homogêneo (termos independentes iguais a zero).
  • 4 incógnitas que chamaremos de x_1,x_2,x_3,x_4.
  • A matriz apresentada já está em forma de linhas que correspondem às equações lineares equivalentes do sistema.]

Passo 2

Escrevendo as equações que correspondem às linhas da matriz (pegando os coeficientes diretamente da matriz dada):
\begin{cases} x_1 + 3x_2 -3x_3 +7x_4 = 0,\\[4pt] \phantom{x_1{}}+\,x_2 -4x_3 +5x_4 = 0. \end{cases}
Explicação curta do porquê: cada linha da matriz fornece os coeficientes de uma equação linear homogênea na ordem (x_1,x_2,x_3,x_4).]

Passo 3

Identificar variáveis líderes (pivot) e variáveis livres:
  • A primeira linha tem pivô na coluna 1, portanto x_1 é variável líder.
  • A segunda linha tem pivô na coluna 2, portanto x_2 é variável líder.
  • As colunas 3 e 4 não têm pivô; logo x_3 e x_4 são variáveis livres.
Explicação didática: variáveis líderes são aquelas que aparecem com coeficiente 1 na posição de pivô e podem ser expressas em função das variáveis livres. O número de variáveis livres é o grau de liberdade da solução (a dimensão do espaço solução).

Passo 4

Resolver as equações em função das variáveis livres. Da segunda equação (mais simples) temos:
x_2 -4x_3 +5x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 4x_3 -5x_4.
Da primeira equação:
x_1 + 3x_2 -3x_3 +7x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -3x_2 +3x_3 -7x_4.
Agora substitui-se a expressão de x_2 em x_1:
x_1 = -3(4x_3 -5x_4) +3x_3 -7x_4.
Fazendo as contas passo a passo:
-3(4x_3 -5x_4) = -12x_3 +15x_4,
então
x_1 = (-12x_3 +15x_4) +3x_3 -7x_4 = (-12x_3+3x_3) + (15x_4-7x_4) = -9x_3 +8x_4.

Passo 5

Introduzir parâmetros para as variáveis livres e escrever a solução vetorial paramétrica. Seja
x_3 = s,\qquad x_4 = t,
onde s,t\in\mathbb{R}\) são parâmetros livres. Então: \[\begin{cases} x_1 = -9s + 8t,\\[4pt] x_2 = 4s -5t,\\[4pt] x_3 = s,\\[4pt] x_4 = t. \end{cases}
Em forma de vetor coluna:
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-9\\[4pt]4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}8\\[4pt]-5\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Explicação didática final: isso mostra que o espaço das soluções é um subespaço de dimensão 2\] (duas variáveis livres) e os vetores \(\begin{pmatrix}-9\\\ 4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}8\\\ -5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} formam uma base desse subespaço (são vetores geradores lineares independentes).]

Resposta

\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-9\\[4pt]4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}8\\[4pt]-5\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.]

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