Deseja-se projetar um canal retangular para escoar uma vazão de 12 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, com profundidade normal de 1,2 m. O coeficiente de Manning é 0,013 e a declividade do fundo é 0,002 .
Determine a largura do canal necessária para essa condição.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo está exatamente como dado):
  • Vazão: Q = 12\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • Profundidade normal: y = 1,2\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de Manning: n = 0,013.
  • Declividade do fundo: S = 0,002.
    Pergunta: determinar a largura b (em metros) do canal retangular necessária para essas condições.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (fórmula de Manning para canais cheios em escoamento uniforme):
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Explicando cada símbolo:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}).
  • n é o coeficiente de Manning (adimensional).
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^{2}).
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R = \dfrac{A}{P}, onde P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}).
  • S é a declividade do fundo (adimensional); S^{1/2}=\sqrt{S}.
    Para um canal retangular com largura b e profundidade y fixa:
A = b\,y, \qquad P = b + 2y, \qquad R = \frac{b\,y}{b+2y}.
Aqui y é conhecido ( 1,2\\ \mathrm{m}), então A e R ficam em função de b.

Passo 3

Substituímos y=1,2\\ \mathrm{m} nas expressões e na fórmula de Manning.
Cálculo de constantes numéricas que aparecem:
S^{1/2}=\sqrt{0,002}=0,044721\\ (\text{aprox.}), \qquad \frac{1}{n}=\frac{1}{0,013}=76,9230769\\ (\text{aprox.}).
Agora A=1,2\,b e R=\dfrac{1,2\,b}{b+2,4}. Substituindo em Manning:
Q = \frac{1}{n}\,(1,2b)\left(\frac{1,2b}{\,b+2,4\,}\right)^{2/3}S^{1/2}.
Agrupando as constantes multiplicativas:
\frac{1}{n}\cdot 1,2 \cdot S^{1/2} \approx 76,9230769 \times 1,2 \times 0,044721 \approx 4,12813.
Assim a equação a resolver para b é
12 = 4,12813\; b\left(\frac{1,2b}{b+2,4}\right)^{2/3}.

Passo 4

Explicação do método de solução: a equação acima é não-linear em b e não se resolve algebricamente de forma simples; o procedimento prático na prova é usar tentativa e erro (iteração) ou uma interpolação simples entre duas tentativas. Vou fazer tentativas mostrando o cálculo da vazão prevista Q(b) para alguns valores de b até achar Q(b)\approx 12.
Teste b=2\\ \mathrm{m}:
A=1,2\cdot2=2,4,\qquad P=2+2,4=4,4,\qquad R=\frac{2,4}{4,4}=0,54545.
R^{2/3}\approx 0,6677.
Q\approx 4,12813\times 2 \times 0,6677 \approx 5,51\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Muito menor que 12.
Teste b=4\\ \mathrm{m}:
A=4,8,\qquad P=4+2,4=6,4,\qquad R=\frac{4,8}{6,4}=0,75.
R^{2/3}\approx 0,8256.
Q\approx 4,12813\times 4 \times 0,8256 \approx 13,63\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Agora ficou maior que 12. Logo a solução está entre b=2 e b=4, e mais precisamente entre b que dá Q perto de 12, por inspeção entre 3{,}5 e 3{,}6 (vou avaliar esses).

Passo 5

Aproximações mais finas:
Teste b=3{,}5\\ \mathrm{m}:
A=1,2\cdot 3{,}5=4{,}2,\quad P=3{,}5+2,4=5{,}9,\quad R=\frac{4{,}2}{5{,}9}=0{,}71186,
R^{2/3}\approx 0{,}7968,\quad Q\approx 4,12813\times 3{,}5\times 0{,}7968 \approx 11{,}52\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Teste b=3{,}6\\ \mathrm{m}:
A=4{,}32,\quad P=6{,}0,\quad R=\frac{4{,}32}{6{,}0}=0{,}72,
R^{2/3}\approx 0{,}8033,\quad Q\approx 4,12813\times 3{,}6\times 0{,}8033 \approx 11{,}92\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Teste b=3{,}65\\ \mathrm{m}:
A=4{,}38,\quad P=6{,}05,\quad R=\frac{4{,}38}{6{,}05}\approx 0{,}7240,
R^{2/3}\approx 0{,}8064,\quad Q\approx 4,12813\times 3{,}65\times 0{,}8064 \approx 12{,}15\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Observação: para b=3{,}6 obtivemos Q um pouco menor que 12, e para b=3{,}65 Q um pouco maior. Podemos interpolar linearmente entre esses dois pontos para estimar b que dá Q=12.

Passo 6

Interpolação linear entre os pontos (b,Q) = (3{,}6,\\\ 11{,}92) e (3{,}65,\\\ 12{,}15).
Diferença de Q entre os pontos: 12{,}15-11{,}92=0{,}23.
Deslocamento necessário desde Q=11{,}92 até 12 é 12-11{,}92=0{,}08.
Fração: 0{,}08/0{,}23\approx 0{,}3478.
Multiplicando pelo passo 0{,}05\\ \mathrm{m} dá deslocamento em b: 0{,}05\times 0{,}3478\approx 0{,}0174\\ \mathrm{m}.
Assim b \approx 3{,}6 + 0{,}0174 \approx 3{,}6174\\ \mathrm{m}.
Fiz uma verificação rápida com b\approx 3{,}61\\ \mathrm{m} e obtive Q muito próximo de 12. Arredondando com precisão prática (duas casas decimais) para projeto, usa-se:
b \approx 3{,}61\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação prática e dica de prova: em prova sem calculadora sofisticada faça duas tentativas que “enquadrem” Q (uma menor e outra maior), depois interpolação linear entre elas fornece uma boa aproximação; se necessário, refine com uma terceira tentativa. Aqui o resultado é estável e suficiente para projeto com duas casas decimais.

Resposta

b \approx 3{,}61\\ \mathrm{m}

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