Deseja-se resfriar 20 t laranjas de 25^{\circ} \mathrm{C} até 2{ }^{\circ} \mathrm{C} em 24 horas. Para este processamento determine:
(a) O calor (em kJ/24horas) que deve ser removido para se atingir o nivel de temperatura desejada.
(b) A condutividade térmica da laranja à 2^{\circ} \mathrm{C}.
(c) A fração de gelo a -18^{\circ} \mathrm{C}.
Dados: Composição Centesimal: Água: 82,30 \%; Proteinas: 1,30 \%; Gorduras: 0,30 \%; carboidratos: 15,50 \%; fibras: 4,50 \%; Cinzas: 0,60 \%. Ponto de inicio de congelamento: -0,8 { }^{\circ} C. Calor Latente de Fusão: $275 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido:
    (a) O calor que deve ser removido para resfriar 20\\ \text{t} de laranjas de 25^\circ\mathrm{C} até 2^\circ\mathrm{C} no intervalo de 24 horas (expressar em \mathrm{kJ/24\\ h}).
    (b) A condutividade térmica da laranja à 2^\circ\mathrm{C}.
    (c) A fração de gelo (massa de gelo por massa total do produto) a -18^\circ\mathrm{C}.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Massa total: 20\\ \text{t} = 20\,000\\ \mathrm{kg}.
    • Temperaturas inicial/final para (a): 25^\circ\mathrm{C} para 2^\circ\mathrm{C}.
    • Composição centesimal (valores em porcentagem): Água 82{,}30\%; Proteínas 1{,}30\%; Gorduras 0{,}30\%; Carboidratos 15{,}50\%; Fibras 4{,}50\%; Cinzas 0{,}60\%.
    • Ponto de início de congelamento: -0{,}8^\circ\mathrm{C}.
    • Calor latente de fusão do gelo (dado): 275\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Observação importante detectada (será tratada nos passos seguintes):
    • A soma das porcentagens dadas excede 100\%. Para usar as frações de massa de forma coerente, será feita uma normalização das porcentagens para que a soma seja 100\%. Isto preserva as proporções relativas entre os componentes e é uma prática comum quando os dados de composição apresentam somatório ligeiramente inconsistente.

Passo 2

Estratégia geral e fórmulas que vamos usar (sem ainda calcular):
  • Para (a) usaremos o calor sensível: Q = M \, c_{\text{média}} \, \Delta T,éonde M é a massa total, c_{\text{média}}é é o calor específico médio da laranja (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) e \Delta T é a variação de temperatura.
  • Para obter c_{\text{média}}é estimamos por média ponderada pelos componentes: c_{\text{média}}=\sum_i f_i\, c_i,éonde f_i é a fração de massa do componente i (somando 1) e c_i é o calor específico do componente i.
  • Para (b) estimaremos a condutividade térmica por mistura simples entre água e sólidos secos: k \approx f_{\text{água}}\, k_{\text{água}} + (1-f_{\text{água}})\, k_{\text{sólidos}},áááóexplicarei e justificarei as escolhas numéricas dos k dos constituintes.
  • Para (c) usaremos a relação de depressão do ponto de congelamento (equação crioscópica para soluções diluídas): \Delta T_f = K_f \cdot b,onde \Delta T_f é a depressão do ponto de congelamento (em °C), K_f é a constante crioscópica da água ( 1{,}86\\ \mathrm{^\circ C\cdot kg/mol}) e b é a molalidade da solução (mol de soluto por kg de solvente). A partir do ponto de congelação inicial -0{,}8^\circ\mathrm{C} vamos estimar uma massa molar média efetiva dos solutos; depois usamos essa média para estimar quanta água permanece não congelada a -18^\circ\mathrm{C}. Em seguida calculamos a fração de gelo.
  • Em todos os itens explicarei o significado de cada variável e as suposições feitas.

Passo 3

Normalização da composição e definição das frações de massa
  • Soma das porcentagens fornecidas: 82{,}30+1{,}30+0{,}30+15{,}50+4{,}50+0{,}60 = 104{,}40\\ \%.
  • Normalizamos cada componente dividindo pela soma 104{,}40\%. Chamando p_i a porcentagem original e f_i a fração de massa normalizada: f_i = \frac{p_i}{104{,}40}.
  • Calculando frações (com 4 casas significativas):
    • Água: f_{\text{água}}=\dfrac{82{,}30}{104{,}40}=0{,}7886.á
    • Proteínas: f_{\text{prot}}=\dfrac{1{,}30}{104{,}40}=0{,}01245.
    • Gorduras: f_{\text{gord}}=\dfrac{0{,}30}{104{,}40}=0{,}002874.
    • Carboidratos: f_{\text{carb}}=\dfrac{15{,}50}{104{,}40}=0{,}1486.
    • Fibras: f_{\text{fib}}=\dfrac{4{,}50}{104{,}40}=0{,}04311.
    • Cinzas: f_{\text{cin}}=\dfrac{0{,}60}{104{,}40}=0{,}005748.
  • Verificação: a soma destas frações é aproximadamente 1{,}0000 (diferença por arredondamento).

Passo 4

Estimativa do calor específico médio c_{\text{média}}é
  • Valores típicos (aproximações usuais para alimentos, em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}):
    • Água líquida: c_{\text{água}}=4{,}181\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}á.
    • Proteínas: c_{\text{prot}}=1{,}70\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Gorduras: c_{\text{gord}}=1{,}90\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Carboidratos: c_{\text{carb}}=1{,}54\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Fibras: c_{\text{fib}}=1{,}30\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Cinzas (sólidos minerais): c_{\text{cin}}=1{,}00\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Fórmula da média ponderada: c_{\text{média}}=\sum_i f_i\, c_i.é
  • Substituindo números (cada termo em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}): \begin{aligned} c_{\text{média}}&=0{,}7886\cdot 4{,}181 +0{,}01245\cdot 1{,}70 +0{,}002874\cdot 1{,}90\\\ &\quad +0{,}1486\cdot 1{,}54 +0{,}04311\cdot 1{,}30 +0{,}005748\cdot 1{,}00. \end{aligned}é
  • Calculando termo a termo: \begin{aligned} 0{,}7886\cdot 4{,}181 &= 3{,}2950,\\\\ 0{,}01245\cdot 1{,}70 &= 0{,}02116,\\\\ 0{,}002874\cdot 1{,}90 &= 0{,}005461,\\\\ 0{,}1486\cdot 1{,}54 &= 0{,}2288,\\\\ 0{,}04311\cdot 1{,}30 &= 0{,}05604,\\\\ 0{,}005748\cdot 1{,}00 &= 0{,}005748. \end{aligned}
  • Somando: c_{\text{média}} \approx 3{,}2950+0{,}02116+0{,}005461+0{,}2288+0{,}05604+0{,}005748 =3{,}6122\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.é
  • Arredondando: c_{\text{média}}\approx 3{,}61\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}é.
  • Comentário didático: o calor específico da laranja fica entre o da água (maior) e o dos sólidos; por isso o resultado é pouco menor que 4{,}18.

Passo 5

Cálculo do calor a ser removido (item a)
  • Fórmula: Q = M \, c_{\text{média}} \, \Delta T,éonde M=20\,000\\ \mathrm{kg}, c_{\text{média}}=3{,}6122\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}é e \Delta T = 25-2=23\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo: Q = 20\,000 \cdot 3{,}6122 \cdot 23.
  • Cálculo: 3{,}6122\cdot 23 = 83{,}081\\ \mathrm{kJ/kg},
Q = 20\,000 \cdot 83{,}081 = 1\,661\,620\\ \mathrm{kJ}.
  • Arredondando com razão de duas/três algarismos significativos: Q \approx 1{,}662\times 10^{6}\\ \mathrm{kJ\\ (por\\\ 24\\ h)}.
  • Observação prática: este é o calor sensível a ser removido; não inclui perdas por equipamento, arrefecimento do ar ambiente, respiração das frutas etc. Para dimensionamento real de equipamento costuma-se adicionar folga.

Passo 6

Estimativa da condutividade térmica da laranja à 2^\circ\mathrm{C} (item b)
  • Raciocínio e suposições:
    • A condutividade térmica k de frutas é dominada pela água contida; sólidos secos têm condutividades menores. Uma aproximação simples é ponderar por fração de massa entre água e sólidos.
    • Usarei valores típicos à baixa temperatura:
      • Água líquida (próxima a 2^\circ\mathrm{C}): k_{\text{água}} \approx 0{,}56\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}á.
      • Sólidos secos médios (mistura de proteínas, carboidratos, gorduras, fibras, cinzas): k_{\text{sólidos}} \approx 0{,}25\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ó (valor representativo).
  • Fórmula de mistura simples (ponderada pela fração de massa da água): k \approx f_{\text{água}}\, k_{\text{água}} + (1-f_{\text{água}})\, k_{\text{sólidos}}.áááó
  • Substituindo f_{\text{água}}=0{,}7886á: k \approx 0{,}7886\cdot 0{,}56 + 0{,}2114\cdot 0{,}25.
  • Calculando: 0{,}7886\cdot 0{,}56 = 0{,}4416,\qquad 0{,}2114\cdot 0{,}25 = 0{,}05285.
k \approx 0{,}4416 + 0{,}05285 = 0{,}4945\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Arredondando: k \approx 0{,}50\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}\\ (\text{à }2^\circ\mathrm{C}).à
  • Observação: existem modelos mais sofisticados (por exemplo usando fração volumétrica ou modelos efetivos para meios porosos), mas esta estimativa é suficiente para engenharia de refrigeração e está em linha com valores reportados para frutas.

Passo 7

Cálculo da fração de gelo a -18^\circ\mathrm{C} (item c) — método usando depressão crioscópica
  • Ideia geral: quando parte da água congela, os solutos ficam no líquido remanescente, aumentando sua concentração e abaixando o ponto de congelamento. A relação básica para soluções diluídas é: \Delta T_f = K_f\cdot b,onde b é a molalidade (mol soluto por kg de solvente).
  • Passo 7.1 — determinar a “massa de solutos” por kg de produto:
    • Fração de massa de água por kg de produto: f_{\text{água}}=0{,}7886á kg de água por kg de produto.
    • Fração de massa de solutos (sólidos) por kg de produto: m_s = 1 - f_{\text{água}} = 0{,}2114\\ \mathrm{kg\\ solutos/kg\\ produto}.á
  • Passo 7.2 — inferir a massa molar média efetiva dos solutos a partir do ponto de congelação inicial
    • Sabemos que o início da congelação ocorre a T_{\text{ini}}=-0{,}8^\circ\mathrm{C}, isto é, \Delta T_{\text{ini}}=0{,}8^\circ\mathrm{C} (comparado a 0^\circ\mathrm{C} da água pura).
    • Para a solução formada pelo conjunto de solutos, a molalidade inicial (quando todo o solvente está líquido) é b_{\text{ini}}=\frac{n_{\text{soluto}}}{f_{\text{água}}}=\frac{m_s/M_m}{f_{\text{água}}},ááonde M_m é a massa molar média efetiva (kg/mol) dos solutos e m_s é a massa de solutos por kg produto.
    • A relação crioscópica dá: \Delta T_{\text{ini}} = K_f \cdot \frac{m_s/M_m}{f_{\text{água}}}.á
    • Isolando M_m: M_m = K_f\cdot\frac{m_s}{f_{\text{água}}\\ \Delta T_{\text{ini}}}.á
    • Substituindo números ( K_f=1{,}86\\ \mathrm{^\circ C\cdot kg/mol}, m_s=0{,}2114\\ \mathrm{kg}, f_{\text{água}}=0{,}7886á, \Delta T_{\text{ini}}=0{,}8^\circ\mathrm{C}): M_m = \frac{1{,}86\cdot 0{,}2114}{0{,}7886\cdot 0{,}8} =\frac{0{,}3932}{0{,}6309}\approx 0{,}6236\\ \mathrm{kg/mol}.
    • Portanto a massa molar média efetiva dos solutos é M_m\approx 0{,}6236\\ \mathrm{kg/mol} (isto é, \approx623{,}6\\ \mathrm{g/mol}). Isso faz sentido: alimentos têm muitos solutos de alto peso molecular (polissacarídeos, proteínas) e a média efetiva tende a ser alta.
  • Passo 7.3 — calcular a massa de água não congelada (unfrozen water) a T=-18^\circ\mathrm{C}
    • Queremos achar w_u = massa de água (kg) que permanece líquida por kg de produto ao atingir -18^\circ\mathrm{C}.
    • A condição de equilíbrio da solução líquida remanescente é que sua depressão do ponto de congelamento corresponda a 18^\circ\mathrm{C}: \Delta T = 18^\circ\mathrm{C} = K_f\cdot \frac{m_s/M_m}{w_u}.(Nota: aqui a massa de solvente é w_u porque só a água líquida restante forma a solução com os solutos.)
    • Isolando w_u: w_u = K_f\cdot\frac{m_s/M_m}{\Delta T}.
    • Substituindo números: m_s/M_m = 0{,}2114/0{,}6236 = 0{,}3392\\ \mathrm{mol} por kg produto. Então w_u = \frac{1{,}86\cdot 0{,}3392}{18} = \frac{0{,}6319}{18}=0{,}03511\\ \mathrm{kg\\ (água\\ líquida\\ por\\ kg\\ produto)}.áí
    • Ou seja, a -18^\circ\mathrm{C} restam apenas cerca de 0{,}03511\\ \mathrm{kg} de água líquida por kg de produto (isto é, 3{,}51\% de massa).
  • Passo 7.4 — calcular a fração de gelo por kg de produto
    • A massa total de água inicialmente por kg produto é f_{\text{água}}=0{,}7886\\ \mathrm{kg}á.
    • A massa de água congelada por kg produto é: w_{\text{gelo}} = f_{\text{água}} - w_u = 0{,}7886 - 0{,}03511 = 0{,}7535\\ \mathrm{kg\\ gelo/kg\\ produto}.á
    • Portanto a fração de gelo em massa (por kg de produto) é 0{,}7535 (ou 75{,}35\% da massa total do produto).
    • Também é útil saber a fração da água que foi congelada: \text{fração da água congelada} = \frac{w_{\text{gelo}}}{f_{\text{água}}} = \frac{0{,}7535}{0{,}7886}=0{,}9554\approx 95{,}5\%.çãáá
  • Comentário sobre o uso do calor latente: o valor do calor latente ( 275\\ \mathrm{kJ/kg}) não foi necessário para determinar a fração de gelo em equilíbrio a -18^\circ\mathrm{C} via a abordagem crioscópica. O calor latente seria necessário se se quisesse calcular a energia adicional necessária para congelar essa massa de água.

Passo 8

Resumo das principais suposições e precisão
  • Suposições realizadas:
    • Normalização da composição porque a soma original ultrapassou 100%.
    • Calores específicos e condutividades dos constituintes usados são valores típicos e aproximados; para aplicações de projeto mais precisas, medição experimental ou tabelas específicas seriam preferíveis.
    • Para a fração de gelo usamos a equação crioscópica linear (válida para soluções relativamente diluídas) e inferimos uma massa molar média efetiva dos solutos a partir do ponto de congelação inicial dado. Essa é uma técnica prática e comum para estimar unfrozen water em alimentos.
  • A ordem de grandeza e os resultados são consistentes com expectativas físicas: refrigeração sensível grande (devido à massa elevada), condutividade próxima à da água e fração de gelo elevada a -18^\circ\mathrm{C} (a maior parte da água congelada).

Resposta

(a) Q \approx 1{,}662\times 10^{6}\\ \mathrm{kJ\\ (por\\\ 24\\ h)}
(b) k \approx 0{,}50\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} 2^\circ\mathrm{C})
(c) Fração de gelo por massa total: 0{,}7535 (ou 75{,}35\%); fração da água congelada: 0{,}955 (ou 95{,}5\%).

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