Deseja-se resfriar 20 t laranjas de
até
em 24 horas. Para este processamento determine:
(a) O calor (em kJ/24horas) que deve ser removido para se atingir o nivel de temperatura desejada.
(b) A condutividade térmica da laranja à
.
(c) A fração de gelo a
.
Dados: Composição Centesimal: Água:
; Proteinas:
; Gorduras:
; carboidratos:
; fibras:
; Cinzas:
. Ponto de inicio de congelamento:
C. Calor Latente de Fusão: $275 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.
(a) O calor (em kJ/24horas) que deve ser removido para se atingir o nivel de temperatura desejada.
(b) A condutividade térmica da laranja à
(c) A fração de gelo a
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedido:
(a) O calor que deve ser removido para resfriarde laranjas de até no intervalo de 24 horas (expressar em ).
(b) A condutividade térmica da laranja à.
(c) A fração de gelo (massa de gelo por massa total do produto) a. - Dados numéricos fornecidos:
- Massa total:
. - Temperaturas inicial/final para (a):
para . - Composição centesimal (valores em porcentagem): Água
; Proteínas ; Gorduras ; Carboidratos ; Fibras ; Cinzas . - Ponto de início de congelamento:
. - Calor latente de fusão do gelo (dado):
.
- Massa total:
- Observação importante detectada (será tratada nos passos seguintes):
- A soma das porcentagens dadas excede
. Para usar as frações de massa de forma coerente, será feita uma normalização das porcentagens para que a soma seja . Isto preserva as proporções relativas entre os componentes e é uma prática comum quando os dados de composição apresentam somatório ligeiramente inconsistente.
- A soma das porcentagens dadas excede
Passo 2
Estratégia geral e fórmulas que vamos usar (sem ainda calcular):
- Para (a) usaremos o calor sensível:
onde é a massa total, é o calor específico médio da laranja (em ) e é a variação de temperatura. - Para obter
estimamos por média ponderada pelos componentes: onde é a fração de massa do componente (somando 1) e é o calor específico do componente . - Para (b) estimaremos a condutividade térmica por mistura simples entre água e sólidos secos:
explicarei e justificarei as escolhas numéricas dos dos constituintes. - Para (c) usaremos a relação de depressão do ponto de congelamento (equação crioscópica para soluções diluídas):
onde é a depressão do ponto de congelamento (em °C), é a constante crioscópica da água ( ) e é a molalidade da solução (mol de soluto por kg de solvente). A partir do ponto de congelação inicial vamos estimar uma massa molar média efetiva dos solutos; depois usamos essa média para estimar quanta água permanece não congelada a . Em seguida calculamos a fração de gelo. - Em todos os itens explicarei o significado de cada variável e as suposições feitas.
Passo 3
Normalização da composição e definição das frações de massa
- Soma das porcentagens fornecidas:
- Normalizamos cada componente dividindo pela soma
. Chamando a porcentagem original e a fração de massa normalizada: - Calculando frações (com 4 casas significativas):
- Água:
- Proteínas:
- Gorduras:
- Carboidratos:
- Fibras:
- Cinzas:
- Água:
- Verificação: a soma destas frações é aproximadamente
(diferença por arredondamento).
Passo 4
Estimativa do calor específico médio
- Valores típicos (aproximações usuais para alimentos, em
): - Água líquida:
. - Proteínas:
. - Gorduras:
. - Carboidratos:
. - Fibras:
. - Cinzas (sólidos minerais):
.
- Água líquida:
- Fórmula da média ponderada:
- Substituindo números (cada termo em
): - Calculando termo a termo:
- Somando:
- Arredondando:
. - Comentário didático: o calor específico da laranja fica entre o da água (maior) e o dos sólidos; por isso o resultado é pouco menor que
.
Passo 5
Cálculo do calor a ser removido (item a)
- Fórmula:
onde , e . - Substituindo:
- Cálculo:
- Arredondando com razão de duas/três algarismos significativos:
- Observação prática: este é o calor sensível a ser removido; não inclui perdas por equipamento, arrefecimento do ar ambiente, respiração das frutas etc. Para dimensionamento real de equipamento costuma-se adicionar folga.
Passo 6
Estimativa da condutividade térmica da laranja à
(item b)
- Raciocínio e suposições:
- A condutividade térmica
de frutas é dominada pela água contida; sólidos secos têm condutividades menores. Uma aproximação simples é ponderar por fração de massa entre água e sólidos. - Usarei valores típicos à baixa temperatura:
- Água líquida (próxima a
): . - Sólidos secos médios (mistura de proteínas, carboidratos, gorduras, fibras, cinzas):
(valor representativo).
- Água líquida (próxima a
- A condutividade térmica
- Fórmula de mistura simples (ponderada pela fração de massa da água):
- Substituindo
: - Calculando:
- Arredondando:
- Observação: existem modelos mais sofisticados (por exemplo usando fração volumétrica ou modelos efetivos para meios porosos), mas esta estimativa é suficiente para engenharia de refrigeração e está em linha com valores reportados para frutas.
Passo 7
Cálculo da fração de gelo a
(item c) — método usando depressão crioscópica
- Ideia geral: quando parte da água congela, os solutos ficam no líquido remanescente, aumentando sua concentração e abaixando o ponto de congelamento. A relação básica para soluções diluídas é:
onde é a molalidade (mol soluto por kg de solvente). - Passo 7.1 — determinar a “massa de solutos” por kg de produto:
- Fração de massa de água por kg de produto:
kg de água por kg de produto. - Fração de massa de solutos (sólidos) por kg de produto:
- Fração de massa de água por kg de produto:
- Passo 7.2 — inferir a massa molar média efetiva dos solutos a partir do ponto de congelação inicial
- Sabemos que o início da congelação ocorre a
, isto é, (comparado a da água pura). - Para a solução formada pelo conjunto de solutos, a molalidade inicial (quando todo o solvente está líquido) é
onde é a massa molar média efetiva (kg/mol) dos solutos e é a massa de solutos por kg produto. - A relação crioscópica dá:
- Isolando
: - Substituindo números (
, , , ): - Portanto a massa molar média efetiva dos solutos é
(isto é, ). Isso faz sentido: alimentos têm muitos solutos de alto peso molecular (polissacarídeos, proteínas) e a média efetiva tende a ser alta.
- Sabemos que o início da congelação ocorre a
- Passo 7.3 — calcular a massa de água não congelada (unfrozen water) a
- Queremos achar
= massa de água (kg) que permanece líquida por kg de produto ao atingir . - A condição de equilíbrio da solução líquida remanescente é que sua depressão do ponto de congelamento corresponda a
: (Nota: aqui a massa de solvente é porque só a água líquida restante forma a solução com os solutos.) - Isolando
: - Substituindo números:
por kg produto. Então - Ou seja, a
restam apenas cerca de de água líquida por kg de produto (isto é, de massa).
- Queremos achar
- Passo 7.4 — calcular a fração de gelo por kg de produto
- A massa total de água inicialmente por kg produto é
. - A massa de água congelada por kg produto é:
- Portanto a fração de gelo em massa (por kg de produto) é
(ou da massa total do produto). - Também é útil saber a fração da água que foi congelada:
- A massa total de água inicialmente por kg produto é
- Comentário sobre o uso do calor latente: o valor do calor latente (
) não foi necessário para determinar a fração de gelo em equilíbrio a via a abordagem crioscópica. O calor latente seria necessário se se quisesse calcular a energia adicional necessária para congelar essa massa de água.
Passo 8
Resumo das principais suposições e precisão
- Suposições realizadas:
- Normalização da composição porque a soma original ultrapassou 100%.
- Calores específicos e condutividades dos constituintes usados são valores típicos e aproximados; para aplicações de projeto mais precisas, medição experimental ou tabelas específicas seriam preferíveis.
- Para a fração de gelo usamos a equação crioscópica linear (válida para soluções relativamente diluídas) e inferimos uma massa molar média efetiva dos solutos a partir do ponto de congelação inicial dado. Essa é uma técnica prática e comum para estimar unfrozen water em alimentos.
- A ordem de grandeza e os resultados são consistentes com expectativas físicas: refrigeração sensível grande (devido à massa elevada), condutividade próxima à da água e fração de gelo elevada a
(a maior parte da água congelada).
Resposta
(a)
(b) (à
)
(c) Fração de gelo por massa total: (ou
); fração da água congelada:
(ou
).
(b)
(c) Fração de gelo por massa total: