Deseja-se saber que motor deve ser empregado para acionar um compressor a parafuso com as seguintes características:
\mathrm{n}_{\mathrm{c}}=1125 \mathrm{rpm} ;
\mathrm{J}_{\mathrm{c}}=2,5 \mathrm{kgm}^{2} ;
□ Conjugado de partida \mathrm{C}_{\mathrm{p}}=37 \mathrm{Nm};
□ Conjugado nominal \mathrm{C}_{\mathrm{cn}}=24 \mathrm{Nm};
□ Redução do acoplamento \mathrm{R}=0,65;
□ Rendimento do acoplamento \eta_{\mathrm{ac}}=97 \%.

Passo 1

O enunciado fornece os dados do compressor e do acoplamento e pede que se determine qual motor deve ser empregado. Os dados são:
  • n_{c}=1125\\ \mathrm{rpm} (velocidade do compressor);
  • J_{c}=2,5\\ \mathrm{kg\;m^{2}} (inércia do compressor referida ao eixo do compressor);
  • conjugado de partida no compressor C_{p}=37\\ \mathrm{Nm};
  • conjugado nominal no compressor C_{cn}=24\\ \mathrm{Nm};
  • redução do acoplamento R=0,65 (relação entre velocidade do compressor e do motor: R=\dfrac{n_{c}}{n_{m}});
  • rendimento do acoplamento \eta_{ac}=97\%=0{,}97.
O que vamos determinar (o que normalmente se precisa para escolher um motor):
  • velocidade do motor n_{m};
  • conjugados exigidos no motor (partida e nominal) transformados pela redução e pelo rendimento do acoplamento;
  • potência mecânica necessária no motor P_{m};
  • inércia do compressor referida ao eixo do motor J_{c}';
  • verificação rápida da capacidade de aceleração na partida (tempo aproximado de aceleração), assumindo informações ausentes quando necessário (explicarei as suposições).

Passo 2

Calcular a velocidade do motor. A redução R foi dada por R=\dfrac{n_{c}}{n_{m}}. Isolando n_{m} obtemos:
n_{m}=\dfrac{n_{c}}{R}.
Substituindo os valores:
n_{m}=\dfrac{1125}{0{,}65}=1730{,}769230\ldots\\ \mathrm{rpm}.
Arredondando de forma prática:
n_{m}\approx 1730{,}77\\ \mathrm{rpm}.
Comentário curto: na prática motor padrão próximo seria um motor de 1800\\ \mathrm{rpm} (60 Hz) ou 1500\\ \mathrm{rpm} (50 Hz); aqui o cálculo dá \approx1731\\ \mathrm{rpm}, então tipicamente escolhe-se um motor cujo número de polos e a relação do acoplamento permitam atingir a n_{c} desejada.

Passo 3

Derivar a relação entre conjugado no motor e conjugado no compressor usando potência e rendimento. Potência útil transmitida pelo acoplamento:
P_{c}=C_{c}\,\omega_{c}, \qquad P_{m}\,\eta_{ac}=P_{c},
onde \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}, ligada à rotação por \omega=2\pi\frac{n}{60}. Substituindo P_{m}=C_{m}\,\omega_{m} e \omega_{c}=R\,\omega_{m} (já que R=\dfrac{\omega_{c}}{\omega_{m}}), obtemos:
C_{m}\,\omega_{m}\,\eta_{ac}=C_{c}\,(\omega_{m}R).
Cancelando \omega_{m}:
C_{m}=\dfrac{C_{c}\,R}{\eta_{ac}}.
Ou seja: o conjugado exigido no eixo do motor é o conjugado no compressor multiplicado por R e dividido pelo rendimento do acoplamento.
Agora calculamos os dois casos pedidos:
Conjugado nominal no motor (transformando C_{cn}):
C_{mn}=\dfrac{C_{cn}\,R}{\eta_{ac}}=\dfrac{24\cdot 0{,}65}{0{,}97}.
Fazendo a conta:
C_{mn}=24\cdot \dfrac{0{,}65}{0{,}97}=24\cdot 0{,}67010309\ldots=16{,}082474\ldots\\ \mathrm{Nm}.
Arredondando:
C_{mn}\approx 16{,}08\\ \mathrm{Nm}.
Conjugado de partida requerido no motor (transformando C_{p}):
C_{mp}=\dfrac{C_{p}\,R}{\eta_{ac}}=\dfrac{37\cdot 0{,}65}{0{,}97}.
Fazendo a conta:
C_{mp}=37\cdot 0{,}67010309\ldots=24{,}793814\ldots\\ \mathrm{Nm}.
Arredondando:
C_{mp}\approx 24{,}79\\ \mathrm{Nm}.
Comentário didático: interprete assim — para vencer o mesmo conjugado no compressor, o motor precisa fornecer menos conjugado por causa da redução R<1, mas há perda no acoplamento (rendimento <1), portanto o conjugado no motor é o conjugado do compressor multiplicado por R/\eta_{ac}.

Passo 4

Calcular a potência mecânica necessária no motor. Podemos calcular primeiro a potência no compressor e depois elevar pelo inverso do rendimento do acoplamento.
Velocidade angular do compressor:
\omega_{c}=2\pi\frac{n_{c}}{60}=2\pi\frac{1125}{60}=2\pi\cdot 18{,}75=117{,}8097245\ldots\\ \mathrm{rad/s}.
Potência mecânica absorvida pelo compressor (na condição nominal):
P_{c}=C_{cn}\,\omega_{c}=24\cdot 117{,}8097245\ldots=2827{,}433388\ldots\\ \mathrm{W}.
Potência que o motor precisa entregar na sua saída (considerando rendimento do acoplamento):
P_{m}=\dfrac{P_{c}}{\eta_{ac}}=\dfrac{2827{,}433388}{0{,}97}=2915{,}651\ldots\\ \mathrm{W}.
Em kilowatts:
P_{m}\approx 2{,}916\\ \mathrm{kW}.
Comentário prático: esse valor é a potência mecânica no eixo do motor necessária para manter o compressor em regime nominal. Na seleção comercial costuma-se escolher um motor com potência nominal um pouco maior (margem de segurança), por exemplo 3{,}0\\ \mathrm{kW} ou, para margem maior e tolerância a partidas frequentes, 4{,}0\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Referir a inércia do compressor ao eixo do motor (é importante para avaliar aceleração na partida). A inércia referida ao motor é:
J_{c}'=J_{c}\,R^{2}.
Substituindo:
J_{c}'=2{,}5\cdot (0{,}65)^{2}=2{,}5\cdot 0{,}4225=1{,}05625\\ \mathrm{kg\;m^{2}}.
Explicação curta: quando se transpõe um corpo que gira mais devagar (compressor) para o eixo mais rápido (motor) pela redução R, a inércia vista pelo motor é multiplicada por R^{2}.

Passo 6

Verificação rápida de partida (como checar se o motor escolhido tem arrancada aceitável). Vamos estimar a disponibilidade de conjugado para acelerar o conjunto e o tempo aproximado de aceleração, com as seguintes suposições (porque o enunciado não as dá): desprezamos a inércia do rotor do motor e perdas por atrito/transmissão além do rendimento já considerado; assumimos que o motor fornece imediatamente o seu conjugado de partida C_{mp} calculado acima.
Conjugado disponível para aceleração no eixo do motor:
C_{disponivel}=C_{mp}-C_{mn}=24{,}793814\ldots-16{,}082474\ldots=8{,}71134\ldots\\ \mathrm{Nm}.
Arredondando:
C_{disponivel}\approx 8{,}71\\ \mathrm{Nm}.
Esse conjugado acelera a inércia referida J_{c}', gerando aceleração angular:
\alpha=\dfrac{C_{disponivel}}{J_{c}'}=\dfrac{8{,}71134}{1{,}05625}=8{,}251\ldots\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
A velocidade angular do motor (calculated no Passo 2) é:
\omega_{m}=2\pi\frac{n_{m}}{60}\approx 2\pi\frac{1730{,}76923}{60}\approx 181{,}24956\\ \mathrm{rad/s}.
Tempo aproximado para acelerar do repouso até \omega_{m}:
t=\dfrac{\omega_{m}}{\alpha}\approx \dfrac{181{,}24956}{8{,}251}=21{,}97\\ \mathrm{s}.
Interpretação: com as suposições feitas, a partida (aceleração até a velocidade do motor) levaria cerca de 22\\ \mathrm{s}. Se houver perdas adicionais, inércia do motor ou limites no conjugado de partida real do motor, o tempo será maior; se o motor escolhido tiver maior conjugado de partida, o tempo será menor.

Passo 7

Conclusão prática para escolha do motor (resumo das quantidades que o motor deve atender):
  • velocidade do motor calculada: n_{m}\approx 1730{,}77\\ \mathrm{rpm};
  • conjugado nominal que o motor deve fornecer: C_{mn}\approx 16{,}08\\ \mathrm{Nm};
  • conjugado de partida mínimo que o motor deve fornecer: C_{mp}\approx 24{,}79\\ \mathrm{Nm};
  • potência mecânica no eixo do motor necessária: P_{m}\approx 2{,}916\\ \mathrm{kW} (recomenda-se, por margem, um motor comercial de pelo menos 3{,}0\\ \mathrm{kW}; para maior folga em partidas frequentes, considerar 4{,}0\\ \mathrm{kW});
  • inércia referida do compressor ao motor: J_{c}'=1{,}05625\\ \mathrm{kg\;m^{2}};
  • tempo de aceleração aproximado (assumindo as simplificações acima): t\approx 21{,}97\\ \mathrm{s}.
Recomendação final prática: escolher um motor elétrico com potência nominal igual ou superior a 3{,}0\\ \mathrm{kW}, velocidade nominal compatível com n_{m} (por exemplo motor padrão 1800\\ \mathrm{rpm} ajustando ligeiramente a relação de redução se necessário), cujo conjugado de partida seja pelo menos 25\\ \mathrm{Nm} (ou cuja razão de torque de partida sobre torque nominal seja suficiente para garantir aceleração aceitável). Se houver dúvidas operacionais (muitas partidas, necessidade de partida rápida, inércia do motor significativa), optar por potência superior (por exemplo 4{,}0\\ \mathrm{kW}) ou por um método de partida que aumente o conjugado disponível.

Resposta

n_{m}\approx 1730{,}77\\ \mathrm{rpm}
C_{mn}\approx 16{,}08\\ \mathrm{Nm}
C_{mp}\approx 24{,}79\\ \mathrm{Nm}
P_{m}\approx 2{,}916\\ \mathrm{kW} (recomenda-se motor comercial de \ge 3{,}0\\ \mathrm{kW}; por margem, considerar 4{,}0\\ \mathrm{kW})
J_{c}'=1{,}05625\\ \mathrm{kg\;m^{2}}
(tempo de aceleração aproximado, sob suposições: t\approx 21{,}97\\ \mathrm{s})

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