Determinar t \in \mathbb{R} de modo que:
o ângulo entre \vec{u}=\left(-t, 1, \frac{1}{2}\right) e \vec{v}=(1,0,-1) seja igual a 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O vetor \vec{u} depende de t e é \vec{u}=\left(-t,\,1,\,\tfrac{1}{2}\right).
  • O vetor \vec{v} é \vec{v}=(1,\,0,\,-1).
  • Pede-se determinar t\in\mathbb{R} de modo que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} seja igual a 60^\circ.

Passo 2

Vamos usar a definição do cosseno do ângulo entre dois vetores: para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\cos\theta,
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar, \|\vec{a}\| é a norma (comprimento) de \vec{a}, e \theta é o ângulo entre eles. Aqui queremos \theta=60^\circ, e \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}.
Explicando as fórmulas usadas:
  • Produto escalar em \mathbb{R}^3: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Norma: \|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Aplicando ao nosso caso teremos a equação
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\;\frac{1}{2}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-t)\cdot 1 + 1\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\cdot(-1) = -t - \tfrac{1}{2}.
Calcular as normas:
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-t)^2 + 1^2 + \left(\tfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{t^2 + 1 + \tfrac{1}{4}}=\sqrt{t^2+\tfrac{5}{4}},
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
Substituindo na fórmula do cosseno ( \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}):
-t - \tfrac{1}{2} = \sqrt{t^2+\tfrac{5}{4}}\;\sqrt{2}\;\cdot\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Simplificar a equação. Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
-2t - 1 = \sqrt{2}\,\sqrt{t^2+\tfrac{5}{4}}.
Observação importante antes de prosseguir: o lado direito \sqrt{2}\,\sqrt{t^2+\tfrac{5}{4}} é sempre não-negativo. Portanto o lado esquerdo deve ser também não-negativo, o que implica a condição
-2t - 1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad t \le -\tfrac{1}{2}.
Essa condição será usada para eliminar soluções espúrias que possam aparecer ao elevar ambos os lados ao quadrado.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado (com cuidado, porque isso pode introduzir raízes extravasantes):
(-2t-1)^2 = \left(\sqrt{2}\,\sqrt{t^2+\tfrac{5}{4}}\right)^2 = 2\left(t^2+\tfrac{5}{4}\right).

Passo 5

Desenvolver e resolver a equação quadrática:
(-2t-1)^2 = 4t^2 + 4t + 1,
2\left(t^2+\tfrac{5}{4}\right)=2t^2 + \tfrac{5}{2}.
Igualando:
4t^2 + 4t + 1 = 2t^2 + \tfrac{5}{2}.
Trazer tudo para um lado:
4t^2 + 4t + 1 - 2t^2 - \tfrac{5}{2}=0
2t^2 + 4t - \tfrac{3}{2}=0.
Multiplicando por 2 para eliminar frações:
4t^2 + 8t - 3 = 0.
Usando a fórmula quadrática t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} com a=4, b=8, c=-3:
t=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot 4\cdot(-3)}}{2\cdot 4}=\frac{-8\pm\sqrt{64+48}}{8}=\frac{-8\pm\sqrt{112}}{8}.
Simplificando \sqrt{112}=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt{7}:
t=\frac{-8\pm 4\sqrt{7}}{8}=\frac{-2\pm\sqrt{7}}{2}.

Passo 6

Aplicar a condição obtida em

Passo 7

As duas raízes são
t_1=\frac{-2+\sqrt{7}}{2},\qquad t_2=\frac{-2-\sqrt{7}}{2}.
Avaliação aproximada:
t_1\approx\frac{-2+2{,}6458}{2}\approx 0{,}323> -\tfrac{1}{2},
t_2\approx\frac{-2-2{,}6458}{2}\approx -2{,}323\le -\tfrac{1}{2}.
Portanto t_1 não satisfaz a condição necessária e é extrangeira (apareceu por conta do quadrado). A única solução válida é
t=\frac{-2-\sqrt{7}}{2}.

Passo 8

Verificação rápida (numérica) para confirmar: com t\approx -2{,}323,
\vec{u}\cdot\vec{v}\approx -t - \tfrac{1}{2}\approx 2{,}323 - 0{,}5 \approx 1{,}823,
\|\vec{u}\|\approx\sqrt{(-2{,}323)^2+1+\tfrac{1}{4}}\approx\sqrt{5{,}398+1{,}25}\approx\sqrt{6{,}648}\approx 2{,}579,
\|\vec{v}\|\sqrt{}=\sqrt{2}\approx 1{,}414,
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\approx\frac{1{,}823}{2{,}579\cdot 1{,}414}\approx\frac{1{,}823}{3{,}647}\approx 0{,}5,
ou seja \cos\theta\approx\tfrac{1}{2} e \theta\approx 60^\circ, confirmando a solução.

Resposta

\displaystyle \frac{-2-\sqrt{7}}{2}

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