Determinar
de modo que:
o ângulo entre
e
seja igual a
.
o ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O vetor
depende de e é . - O vetor
é . - Pede-se determinar
de modo que o ângulo entre e seja igual a .
Passo 2
Vamos usar a definição do cosseno do ângulo entre dois vetores: para quaisquer vetores
e
,
onde
é o produto escalar,
é a norma (comprimento) de
, e
é o ângulo entre eles. Aqui queremos
, e
.
Explicando as fórmulas usadas:
- Produto escalar em
: se e então
- Norma:
.
Aplicando ao nosso caso teremos a equação
Passo 3
Calcular o produto escalar
:
Calcular as normas:
Substituindo na fórmula do cosseno (
):
Passo 4
Simplificar a equação. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Observação importante antes de prosseguir: o lado direito
é sempre não-negativo. Portanto o lado esquerdo deve ser também não-negativo, o que implica a condição
Essa condição será usada para eliminar soluções espúrias que possam aparecer ao elevar ambos os lados ao quadrado.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado (com cuidado, porque isso pode introduzir raízes extravasantes):
Passo 5
Desenvolver e resolver a equação quadrática:
Igualando:
Trazer tudo para um lado:
Multiplicando por
para eliminar frações:
Usando a fórmula quadrática
com
,
,
:
Simplificando
:
Passo 6
Aplicar a condição obtida em
Passo 7
As duas raízes são
Avaliação aproximada:
Portanto
não satisfaz a condição necessária e é extrangeira (apareceu por conta do quadrado). A única solução válida é
Passo 8
Verificação rápida (numérica) para confirmar: com
,
ou seja
e
, confirmando a solução.