Determinar
de modo que:
o ângulo entre
e
seja igual a
.
o ângulo entre
Passo 1
O enunciado pede determinar
tal que o ângulo entre os vetores
e
seja igual a
.
Informações dadas:
-
. Portanto os componentes de são (pois ). -
. Portanto os componentes de são . - Queremos que o ângulo entre
e seja .
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que relaciona produto escalar e ângulo entre vetores — isso é essencial e é o que usaremos.
Definição e fórmula:
- Se
e , o produto escalar é
Ele mede, entre outras coisas, quanto os vetores “apontam na mesma direção”.
- A norma (comprimento) de um vetor
é
- A relação entre produto escalar e ângulo
entre e é
Aqui
é o ângulo entre
e
. No nosso caso queremos
, portanto
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando os componentes que listamos no Passo 1:
Passo 4
Calcular as normas:
Passo 5
Aplicar a fórmula do cosseno com
:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo), obtemos
Observe que o lado direito é positivo, logo o lado esquerdo também deve ser positivo; portanto é necessário
, isto é
. Isso evita soluções espúrias ao quadrar.
Passo 6
Resolver a igualdade (com a condição
). Igualando:
Elevar ambos os lados ao quadrado:
Desenvolvendo:
Cancelar
dos dois lados e resolver para
:
Verificação da condição:
, ok.
Passo 7
Verificação direta substituindo
:
-
. -
. -
, . - Assim
, que corresponde a . Tudo confere.