Determinar t \in \mathbb{R} de modo que:
o ângulo entre \vec{u}=3 \vec{i}-(5-t) \vec{j} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j} seja igual a 45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede determinar t\in\mathbb{R} tal que o ângulo entre os vetores \vec{u}=3\vec{i}-(5-t)\vec{j} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j} seja igual a 45^\circ.
Informações dadas:
  • \vec{u}=3\vec{i}-(5-t)\vec{j}. Portanto os componentes de \vec{u} são \bigl(3,\;t-5\bigr) (pois 3\vec{i}-(5-t)\vec{j}=(3,\,-5+t)=(3,t-5)).
  • \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}. Portanto os componentes de \vec{v} são \bigl(1,\;1\bigr).
  • Queremos que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} seja \;45^\circ.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que relaciona produto escalar e ângulo entre vetores — isso é essencial e é o que usaremos.
Definição e fórmula:
  • Se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.
Ele mede, entre outras coisas, quanto os vetores “apontam na mesma direção”.
  • A norma (comprimento) de um vetor \vec{a} é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.
  • A relação entre produto escalar e ângulo \theta entre \vec{a} e \vec{b} é
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}.
Aqui \theta é o ângulo entre 0 e \pi. No nosso caso queremos \theta=45^\circ, portanto
\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} usando os componentes que listamos no Passo 1:
\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot1+(t-5)\cdot1=3+(t-5)=t-2.

Passo 4

Calcular as normas:
\|\vec{u}\|=\sqrt{3^2+(t-5)^2}=\sqrt{9+(t-5)^2}, \qquad \|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno com \theta=45^\circ:
\cos 45^\circ=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{t-2}{\sqrt{9+(t-5)^2}\,\sqrt{2}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2} (positivo), obtemos
\frac{t-2}{\sqrt{9+(t-5)^2}}=1.
Observe que o lado direito é positivo, logo o lado esquerdo também deve ser positivo; portanto é necessário t-2\ge 0, isto é t\ge 2. Isso evita soluções espúrias ao quadrar.

Passo 6

Resolver a igualdade (com a condição t\ge 2). Igualando:
t-2=\sqrt{9+(t-5)^2}.
Elevar ambos os lados ao quadrado:
(t-2)^2=9+(t-5)^2.
Desenvolvendo:
t^2-4t+4=9+\bigl(t^2-10t+25\bigr)=t^2-10t+34.
Cancelar t^2 dos dois lados e resolver para t:
-4t+4=-10t+34 \quad\Longrightarrow\quad 6t=30 \quad\Longrightarrow\quad t=5.
Verificação da condição: t=5\ge 2, ok.

Passo 7

Verificação direta substituindo t=5:
  • \vec{u}=(3,\,5-5)=(3,0).
  • \vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot1+0\cdot1=3.
  • \|\vec{u}\|=3, \|\vec{v}\|=\sqrt{2}.
  • Assim \cos\theta=\dfrac{3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, que corresponde a \theta=45^\circ. Tudo confere.

Resposta

t=5

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