Determinar uma T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) cujo núcleo seja gerado pelos polinômios 1+x^{3} e 1-x^{2}. ( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau nó máximo 3 ; \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau nó máximo 2 ).
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma transformação linear T:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) cujo núcleo seja o subespaço gerado por 1+x^{3} e 1-x^{2}.
Informações dadas e observações iniciais:
O domínio é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios de grau máximo 3. Esse espaço tem dimensão 4.
O contradomínio é \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), de dimensão 3.
O núcleo exigido é \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{\,1+x^{3},\;1-x^{2}\,\}.
O objetivo é construir uma transformação linear T com esse núcleo (ou seja, todos os polinômios daquelas combinações lineares devem ser levados a 0, e somente eles).
Passo 2
Primeiro verificar se os dois geradores do núcleo são linearmente independentes (para sabermos a dimensão do núcleo).
Considere \alpha(1+x^{3})+\beta(1-x^{2})=0. Igualando coeficientes em cada potência de x:
coeficiente de x^{3}: \alpha=0,
coeficiente de x^{2}: -\beta=0\Rightarrow\beta=0,
coeficiente de x: 0=0 (não dá informação),
coeficiente do termo constante: \alpha+\beta=0 (já satisfeito por \alpha=\beta=0).
Portanto \alpha=\beta=0, logo 1+x^{3} e 1-x^{2} são linearmente independentes. Assim \dim(\operatorname{span}\{1+x^{3},1-x^{2}\})=2. Como \dim(\mathcal{P}_{3})=4, o subespaço núcleo tem codimensão 2, então a imagem de T deverá ter dimensão 2 (pela dimensão-rank-nullity).
Passo 3
Método de construção (ideia): escolher uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) que contenha os dois vetores do núcleo, completar para uma base com mais dois vetores. Definir T mandando os vetores do núcleo para 0 e os outros dois para polinômios linearmente independentes em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Assim o núcleo conterá (e, com contagem de dimensões, será exatamente) o span desejado, e a imagem terá dimensão 2.
coeficiente de x^{2}: -\beta+\delta=0\Rightarrow \delta=\beta,
coeficiente de x: \gamma=0,
termo constante: \alpha+\beta=0\Rightarrow \beta=0 (pois \alpha=0).
Assim \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Logo são linearmente independentes e, sendo 4 vetores em espaço de dimensão 4, formam uma base.
Passo 5
Definir T pela ação na base escolhida. Como queremos \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}, definimos
T(v_{1})=0,\qquad T(v_{2})=0.
Para os outros dois vetores da base (complemento), escolhemos imagens em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) que sejam linearmente independentes (para garantir \dim(\operatorname{Im}T)=2). Uma escolha simples é
T(v_{3})=1,\qquad T(v_{4})=x.
Essas imagens são polinômios de grau \le2 e são linearmente independentes em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Assim T está completamente determinada linearmente pela regra acima (isto define T em qualquer polinômio através da expansão na base).
Passo 6
Agora obter uma fórmula explícita de T\) em coordenadas usuais. Seja um polinômio genérico
\[p(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Queremos escrever p na base \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}:
Verificação do núcleo: T(p)=0 se, e somente se, b=0 e c+a-d=0. Nessas condições temos \gamma=0 e \delta=0, e então p=\alpha v_{1}+\beta v_{2} com \alpha=d,\\ \beta=a-d. Assim \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}, como exigido.]
Passo 7
Resumo e comentário final: definimos uma transformação linear explícita, verificamos que o núcleo contém exatamente os geradores pedidos e tem dimensão correta, e que a imagem tem dimensão 2 (gerada por 1 e x em \mathcal{P}_{2}). Essa construção é bem prática: escolhe-se uma base que contém o núcleo e manda os vetores do núcleo para zero, completando para uma base e mandando os outros vetores para polinômios independentes no contradomínio.
Resposta
T:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por