Determinar uma T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) cujo núcleo seja gerado pelos polinômios 1+x^{3} e 1-x^{2}. ( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau nó máximo 3 ; \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau nó máximo 2 ).

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma transformação linear T:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) cujo núcleo seja o subespaço gerado por 1+x^{3} e 1-x^{2}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O domínio é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios de grau máximo 3. Esse espaço tem dimensão 4.
  • O contradomínio é \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), de dimensão 3.
  • O núcleo exigido é \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{\,1+x^{3},\;1-x^{2}\,\}.
  • O objetivo é construir uma transformação linear T com esse núcleo (ou seja, todos os polinômios daquelas combinações lineares devem ser levados a 0, e somente eles).

Passo 2

Primeiro verificar se os dois geradores do núcleo são linearmente independentes (para sabermos a dimensão do núcleo).
Considere \alpha(1+x^{3})+\beta(1-x^{2})=0. Igualando coeficientes em cada potência de x:
  • coeficiente de x^{3}: \alpha=0,
  • coeficiente de x^{2}: -\beta=0\Rightarrow\beta=0,
  • coeficiente de x: 0=0 (não dá informação),
  • coeficiente do termo constante: \alpha+\beta=0 (já satisfeito por \alpha=\beta=0).
Portanto \alpha=\beta=0, logo 1+x^{3} e 1-x^{2} são linearmente independentes. Assim \dim(\operatorname{span}\{1+x^{3},1-x^{2}\})=2. Como \dim(\mathcal{P}_{3})=4, o subespaço núcleo tem codimensão 2, então a imagem de T deverá ter dimensão 2 (pela dimensão-rank-nullity).

Passo 3

Método de construção (ideia): escolher uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) que contenha os dois vetores do núcleo, completar para uma base com mais dois vetores. Definir T mandando os vetores do núcleo para 0 e os outros dois para polinômios linearmente independentes em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Assim o núcleo conterá (e, com contagem de dimensões, será exatamente) o span desejado, e a imagem terá dimensão 2.

Passo 4

Escolher a base explícita. Defina
v_{1}=1+x^{3},\qquad v_{2}=1-x^{2},\qquad v_{3}=x,\qquad v_{4}=x^{2}.
Vou mostrar que \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (ou seja, são linearmente independentes e formam 4 vetores).
Suponha que exista \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}+\delta v_{4}=0.
Escrevendo isso em monômios:
\alpha(1+x^{3})+\beta(1-x^{2})+\gamma x+\delta x^{2}=0.
Igualando coeficientes em cada potência:
  • coeficiente de x^{3}: \alpha=0,
  • coeficiente de x^{2}: -\beta+\delta=0\Rightarrow \delta=\beta,
  • coeficiente de x: \gamma=0,
  • termo constante: \alpha+\beta=0\Rightarrow \beta=0 (pois \alpha=0).
Assim \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Logo são linearmente independentes e, sendo 4 vetores em espaço de dimensão 4, formam uma base.

Passo 5

Definir T pela ação na base escolhida. Como queremos \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}, definimos
T(v_{1})=0,\qquad T(v_{2})=0.
Para os outros dois vetores da base (complemento), escolhemos imagens em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) que sejam linearmente independentes (para garantir \dim(\operatorname{Im}T)=2). Uma escolha simples é
T(v_{3})=1,\qquad T(v_{4})=x.
Essas imagens são polinômios de grau \le2 e são linearmente independentes em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Assim T está completamente determinada linearmente pela regra acima (isto define T em qualquer polinômio através da expansão na base).

Passo 6

Agora obter uma fórmula explícita de T\) em coordenadas usuais. Seja um polinômio genérico \[p(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Queremos escrever p na base \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}:
p=\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}+\delta v_{4}.
Comparando coeficientes (como feito no Passo 4), obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=a,\\[4pt] \gamma=b,\\[4pt] -\beta+\delta=c,\\[4pt] \alpha=d. \end{cases}
Dessa forma
\alpha=d,\qquad \beta=a-d,\qquad \gamma=b,\qquad \delta=c+\beta=c+a-d.
Aplicando T\] (lembrando que \(T(v_{1})=T(v_{2})=0, T(v_{3})=1, T(v_{4})=x), temos
T(p)=\gamma\cdot 1+\delta\cdot x=b+\bigl(c+a-d\bigr)\,x.
Portanto, para qualquer p(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3},
T\bigl(a+bx+cx^{2}+dx^{3}\bigr)=b+\bigl(c+a-d\bigr)\,x.
Verificação do núcleo: T(p)=0 se, e somente se, b=0 e c+a-d=0. Nessas condições temos \gamma=0 e \delta=0, e então p=\alpha v_{1}+\beta v_{2} com \alpha=d,\\ \beta=a-d. Assim \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}, como exigido.]

Passo 7

Resumo e comentário final: definimos uma transformação linear explícita, verificamos que o núcleo contém exatamente os geradores pedidos e tem dimensão correta, e que a imagem tem dimensão 2 (gerada por 1 e x em \mathcal{P}_{2}). Essa construção é bem prática: escolhe-se uma base que contém o núcleo e manda os vetores do núcleo para zero, completando para uma base e mandando os outros vetores para polinômios independentes no contradomínio.

Resposta

T:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por
T\bigl(a+bx+cx^{2}+dx^{3}\bigr)=b+\bigl(c+a-d\bigr)\,x.

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