Determinar a multiplicidade de
para
Passo 1
O enunciado pede para determinar a multiplicidade da raiz
do polinômio dado. As informações fornecidas são:
A pergunta concreta é: qual é a multiplicidade de
como raiz de
— isto é, qual o maior inteiro
tal que
divide
.
Passo 2
Primeiro verifico se
é raiz, calculando
. Substituindo
em
:
Calculo passo a passo:
Assim
Agrupando termos:
Portanto
, logo
é de fato uma raiz de
.
Passo 3
Explico a definição e um critério prático (aula rápida):
- Definição: a multiplicidade de uma raiz
de um polinômio é o maior inteiro tal que divide . - Critério com derivadas (muito útil em provas): se
é um polinômio e é raiz, então a multiplicidade é o menor inteiro tal que . Em outras palavras, se
então a multiplicidade é
. Aqui
denota a
-ésima derivada de
. Esse critério vem da expansão de Taylor em torno de
e do fato de que um fator
anula as primeiras
derivadas em
.
Vou aplicar esse critério: calcular derivadas progressivas de
e avaliá‑las em
.
Passo 4
Calculo a primeira derivada e avalio em
.
A primeira derivada é
A primeira derivada é
Agora avalio em
:
Cálculo numérico:
logo
Portanto
.
Passo 5
Calculo a segunda derivada e avalio em
.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Avaliando em
:
Cálculo numérico:
então
Portanto
.
Passo 6
Calculo a terceira derivada e avalio em
.
A terceira derivada é
A terceira derivada é
Avaliando em
:
Logo
.
Passo 7
Calculo a quarta derivada e avalio em
.
A quarta derivada (derivada de ) é constante:
A quarta derivada (derivada de
Portanto
Concluímos que as derivadas de ordem
em
são todas zero, e a derivada de ordem
é a primeira que não é zero. Pelo critério das derivadas, a ordem (menor
com
) é
.
Passo 8
Para reforçar e ensinar outra técnica útil: fatoração direta. Expandindo
usando binômio de Newton:
Calculando os coeficientes:
Logo
que é exatamente
. Isso mostra que
. Como o polinômio é um quarto grau e é exatamente a quarta potência de
, a raiz
ocorre com multiplicidade igual a
.