Determinar a multiplicidade de \xi=3 para
p(x)=x^{4}-12 x^{3}+54 x^{2}-108 x+81

Passo 1

O enunciado pede para determinar a multiplicidade da raiz \xi=3 do polinômio dado. As informações fornecidas são:
p(x)=x^{4}-12 x^{3}+54 x^{2}-108 x+81.
A pergunta concreta é: qual é a multiplicidade de \xi=3 como raiz de p(x) — isto é, qual o maior inteiro m\ge1 tal que (x-3)^{m} divide p(x).

Passo 2

Primeiro verifico se 3 é raiz, calculando p(3). Substituindo x=3 em p(x):
p(3)=3^{4}-12\cdot3^{3}+54\cdot3^{2}-108\cdot3+81.
Calculo passo a passo:
3^{4}=81,\quad 12\cdot3^{3}=12\cdot27=324,\quad 54\cdot3^{2}=54\cdot9=486,
108\cdot3=324.
Assim
p(3)=81-324+486-324+81.
Agrupando termos:
(81+486+81) - (324+324)=648-648=0.
Portanto p(3)=0, logo x=3 é de fato uma raiz de p.

Passo 3

Explico a definição e um critério prático (aula rápida):
  • Definição: a multiplicidade de uma raiz a de um polinômio p(x) é o maior inteiro m tal que (x-a)^{m} divide p(x).
  • Critério com derivadas (muito útil em provas): se p é um polinômio e a é raiz, então a multiplicidade m é o menor inteiro k\ge1 tal que p^{(k)}(a)\neq0. Em outras palavras, se
p(a)=p'(a)=\cdots=p^{(m-1)}(a)=0\quad\text{e}\quad p^{(m)}(a)\neq0,
então a multiplicidade é m. Aqui p^{(k)} denota a k-ésima derivada de p. Esse critério vem da expansão de Taylor em torno de a e do fato de que um fator (x-a)^{m} anula as primeiras m derivadas em a.
Vou aplicar esse critério: calcular derivadas progressivas de p e avaliá‑las em x=3.

Passo 4

Calculo a primeira derivada e avalio em 3.
A primeira derivada é
p'(x)=4x^{3}-36x^{2}+108x-108.
Agora avalio em x=3:
p'(3)=4\cdot3^{3}-36\cdot3^{2}+108\cdot3-108.
Cálculo numérico:
4\cdot27=108,\quad 36\cdot9=324,\quad 108\cdot3=324,
logo
p'(3)=108-324+324-108=0.
Portanto p'(3)=0.

Passo 5

Calculo a segunda derivada e avalio em 3.
A segunda derivada é
p''(x)=12x^{2}-72x+108.
Avaliando em x=3:
p''(3)=12\cdot3^{2}-72\cdot3+108.
Cálculo numérico:
12\cdot9=108,\quad 72\cdot3=216,
então
p''(3)=108-216+108=0.
Portanto p''(3)=0.

Passo 6

Calculo a terceira derivada e avalio em 3.
A terceira derivada é
p^{(3)}(x)=24x-72.
Avaliando em x=3:
p^{(3)}(3)=24\cdot3-72=72-72=0.
Logo p^{(3)}(3)=0.

Passo 7

Calculo a quarta derivada e avalio em 3.
A quarta derivada (derivada de p^{(3)}) é constante:
p^{(4)}(x)=24.
Portanto
p^{(4)}(3)=24\neq0.
Concluímos que as derivadas de ordem 0,1,2,3 em x=3 são todas zero, e a derivada de ordem 4 é a primeira que não é zero. Pelo critério das derivadas, a ordem (menor k com p^{(k)}(3)\neq0) é k=4.

Passo 8

Para reforçar e ensinar outra técnica útil: fatoração direta. Expandindo (x-3)^{4} usando binômio de Newton:
(x-3)^{4}=x^{4}-4\cdot3x^{3}+6\cdot3^{2}x^{2}-4\cdot3^{3}x+3^{4}.
Calculando os coeficientes:
-4\cdot3=-12,\quad 6\cdot3^{2}=6\cdot9=54,\quad -4\cdot3^{3}=-4\cdot27=-108,\quad 3^{4}=81.
Logo
(x-3)^{4}=x^{4}-12x^{3}+54x^{2}-108x+81,
que é exatamente p(x). Isso mostra que p(x)=(x-3)^{4}. Como o polinômio é um quarto grau e é exatamente a quarta potência de (x-3), a raiz x=3 ocorre com multiplicidade igual a 4.

Resposta

4

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