4- Determinar a relação entre os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} (no sistema “l”) em função dos quais as duas partículas resultantes de uma desintegração se afastam.

Passo 1

O enunciado pede: “determinar a relação entre os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} (no sistema ‘l’) em função dos quais as duas partículas resultantes de uma desintegração se afastam.”
Vou explicitar o que vou usar e as quantidades que vou definir (essas são as informações e símbolos que o problema envolve; não foi dada numérica nenhuma, então trabalho de modo geral).
  • Há um sistema de referência l (o laboratório) em que a partícula-mãe de massa M se move com velocidade \mathbf{V} ao longo do eixo x (defino x como a direção do movimento da partícula-mãe). Defino \beta = V/c e \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^{2}}.
  • A partícula-mãe se desintegra em duas partículas filhas de massas m_{1} e m_{2}. No sistema de centro de massa (representei por S', o sistema em que a partícula-mãe está em repouso antes da desintegração) as duas filhas são emitidas em direções opostas com o mesmo módulo de momento p'.
  • No sistema l (laboratório) as filhas têm momentos \mathbf{p}_{1} e \mathbf{p}_{2} e formam ângulos \theta_{1} e \theta_{2} com o eixo x (respectivamente). Quero uma relação entre \theta_{1} e \theta_{2}.
  • Quantidades úteis no sistema S' (repouso da mãe): E_1'=\frac{M^{2}+m_1^{2}-m_2^{2}}{2M}\,c^{2},\qquad E_2'=\frac{M^{2}+m_2^{2}-m_1^{2}}{2M}\,c^{2},e o módulo do momento comum p'=\frac{\sqrt{\bigl[M^{2}-(m_1+m_2)^{2}\bigr]\bigl[M^{2}-(m_1-m_2)^{2}\bigr]}}{2M}\,c.
  • Regras que vou usar: conservação 4-momento e transformação de Lorentz das componentes do momento entre S' e l.

Passo 2

Escolha de eixos e configuração geométrica (organizar para transformar facilmente).
  • No S' (repouso da mãe) escolho o eixo x' colinear com a direção de \mathbf{V} (ou seja, eixos paralelos aos do laboratório). Suponho que a partícula 1 é emitida em S' com ângulo \alpha medido a partir de x' (assim a partícula 2 é emitida em direção oposta com ângulo \pi-\alpha). Então, em S': \mathbf{p}_1'=(p'\cos\alpha,\;p'\sin\alpha,\,0),\qquad \mathbf{p}_2'=(-p'\cos\alpha,\;-p'\sin\alpha,\,0).
  • As energias em S' são E_1' e E_2' dadas no Passo 1.

Passo 3

Transformação de Lorentz das componentes do momento (teoria necessária).
  • Regra: ao fazer boost de S' (repouso da mãe) para l (onde a mãe se move com \beta ao longo de x), as componentes do 4-momento transformam-se como p_x=\gamma\bigl(p_x' + \beta E'/c\bigr),\qquad p_y=p_y',\qquad E=\gamma\bigl(E' + \beta c p_x'\bigr).(explico rápido: a componente transversal p_y é invariante sob boost longitudinal; a componente longitudinal e a energia misturam-se com fatores \gamma e \beta.)
  • Aplicando isso à partícula 1: p_{1x}=\gamma\bigl(p'\cos\alpha + \beta E_1'/c\bigr),\qquad p_{1y}=p'\sin\alpha.Para a partícula 2: p_{2x}=\gamma\bigl(-p'\cos\alpha + \beta E_2'/c\bigr),\qquad p_{2y}=-p'\sin\alpha.

Passo 4

Definição dos ângulos \theta_1,\theta_2 no sistema l e expressão em termos das componentes (passo prático).
  • No sistema l, \tan\theta_1=\frac{p_{1y}}{p_{1x}} =\frac{p'\sin\alpha}{\gamma\bigl(p'\cos\alpha+\beta E_1'/c\bigr)},
\tan\theta_2=\frac{p_{2y}}{p_{2x}} =\frac{-p'\sin\alpha}{\gamma\bigl(-p'\cos\alpha+\beta E_2'/c\bigr)} =\frac{p'\sin\alpha}{\gamma\bigl(p'\cos\alpha-\beta E_2'/c\bigr)}.
(Aqui usei que p_{2y}=-p'\sin\alpha e p_{2x} tem o sinal indicado, simplificando os sinais.)

Passo 5

Relação direta obtida imediatamente da componente transversal (resultado simples e importante).
  • Observando as componentes y no laboratório, a soma das componentes transversais do momento deve ser zero (a partícula-mãe não tinha componente y antes da quebra). Isso dá p_{1y}+p_{2y}=0\quad\Longrightarrow\quad p_{1y}= - p_{2y}.Como p_{1y}=p_1\sin\theta_1 e |p_{2y}|=p_2\sin\theta_2, obtemos a relação simples e útil p_{1}\sin\theta_{1}=p_{2}\sin\theta_{2}.
  • Esta é a relação de conservação do momento transversal: ela relaciona os ângulos, mas contém também os módulos dos momentos no laboratório p_1,p_2. É frequentemente a primeira e mais prática relação usada numa prova.

Passo 6

Relação entre \tan\theta_1 e \tan\theta_2 em termos de quantidades do S' (expressão explícita que mostra como os ângulos se correlacionam).
  • Dividindo as expressões do Passo 4 obtemos uma relação direta entre as tangentes: \frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} =\frac{p'\cos\alpha-\beta\,E_2'/c}{p'\cos\alpha+\beta\,E_1'/c}.Esta fórmula diz: dado o ângulo de emissão \alpha no centro de massa e as energias E_1',E_2' (que dependem das massas), obtém-se a razão das tangentes dos ângulos medidos no laboratório. É uma relação exata e relativisticamente correta.

Passo 7

Substituir E_1',E_2',p' por expressões em função das massas (colocar tudo em termos das massas e da velocidade da mãe, se desejado).
  • As quantidades em S' podem ser escritas só com M,m_1,m_2 (veja Passo 1): E_1'=\frac{M^{2}+m_1^{2}-m_2^{2}}{2M}\,c^{2},\qquad E_2'=\frac{M^{2}+m_2^{2}-m_1^{2}}{2M}\,c^{2},
p'=\frac{\sqrt{\bigl[M^{2}-(m_1+m_2)^{2}\bigr]\bigl[M^{2}-(m_1-m_2)^{2}\bigr]}}{2M}\,c.
  • Inserindo estas expressões na relação do Passo 6 obtém-se uma relação entre \tan\theta_1 e \tan\theta_2 que envolve \alpha, \beta (velocidade da mãe) e as massas M,m_1,m_2. Se for desejado eliminar \alpha para obter uma relação apenas entre \theta_1 e \theta_2 e os parâmetros do problema, procede-se algébrica e explicitamente (a eliminação é possível, mas gera expressão longa). O ponto prático: as fórmulas do Passo 4–6 são bastante usadas em provas porque permitem relacionar diretamente medidas angulares no laboratório com as quantidades do centro de massa.

Passo 8

Casos especiais (intuição e checagem rápida — útil na prova).
  • Se as massas das filhas forem iguais ( m_1=m_2) então E_1'=E_2'=M c^{2}/2 e as fórmulas simplificam: a razão das tangentes fica \frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{p'\cos\alpha-\beta (M c/2)}{p'\cos\alpha+\beta (M c/2)}.Além disso, p_1 e p_2 no laboratório têm o mesmo módulo se m_1=m_2, e então do Passo 5 segue \sin\theta_1=\sin\theta_2 (ou seja, \theta_2=\pi-\theta_1 ou \theta_2=\theta_1, dependendo dos quadrantes), recuperando o caso intuitivo de emissão simétrica.
  • Se a mãe estiver em repouso no laboratório ( \beta=0), as fórmulas do Passo 4 reduzem a \tan\theta_1=\tan\alpha e \tan\theta_2=\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha: as partículas saem em direções opostas no laboratório, como esperado.

Resposta

p_{1}\sin\theta_{1}=p_{2}\sin\theta_{2}
\displaystyle \frac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}} =\frac{p'\cos\alpha-\beta\,E_2'/c}{p'\cos\alpha+\beta\,E_1'/c}, onde
\displaystyle E_1'=\frac{M^{2}+m_1^{2}-m_2^{2}}{2M}c^{2},\; E_2'=\frac{M^{2}+m_2^{2}-m_1^{2}}{2M}c^{2} e
\displaystyle p'=\frac{\sqrt{[M^{2}-(m_1+m_2)^{2}][M^{2}-(m_1-m_2)^{2}]}}{2M}\,c.

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