4- Determinar a relação entre os ângulos
e
(no sistema “l”) em função dos quais as duas partículas resultantes de uma desintegração se afastam.
Passo 1
O enunciado pede: “determinar a relação entre os ângulos
e
(no sistema ‘l’) em função dos quais as duas partículas resultantes de uma desintegração se afastam.”
Vou explicitar o que vou usar e as quantidades que vou definir (essas são as informações e símbolos que o problema envolve; não foi dada numérica nenhuma, então trabalho de modo geral).
Vou explicitar o que vou usar e as quantidades que vou definir (essas são as informações e símbolos que o problema envolve; não foi dada numérica nenhuma, então trabalho de modo geral).
- Há um sistema de referência
(o laboratório) em que a partícula-mãe de massa se move com velocidade ao longo do eixo (defino como a direção do movimento da partícula-mãe). Defino e . - A partícula-mãe se desintegra em duas partículas filhas de massas
e . No sistema de centro de massa (representei por , o sistema em que a partícula-mãe está em repouso antes da desintegração) as duas filhas são emitidas em direções opostas com o mesmo módulo de momento . - No sistema
(laboratório) as filhas têm momentos e e formam ângulos e com o eixo (respectivamente). Quero uma relação entre e . - Quantidades úteis no sistema
(repouso da mãe): e o módulo do momento comum - Regras que vou usar: conservação 4-momento e transformação de Lorentz das componentes do momento entre
e .
Passo 2
Escolha de eixos e configuração geométrica (organizar para transformar facilmente).
- No
(repouso da mãe) escolho o eixo colinear com a direção de (ou seja, eixos paralelos aos do laboratório). Suponho que a partícula 1 é emitida em com ângulo medido a partir de (assim a partícula 2 é emitida em direção oposta com ângulo ). Então, em : - As energias em
são e dadas no Passo 1.
Passo 3
Transformação de Lorentz das componentes do momento (teoria necessária).
- Regra: ao fazer boost de
(repouso da mãe) para (onde a mãe se move com ao longo de ), as componentes do 4-momento transformam-se como (explico rápido: a componente transversal é invariante sob boost longitudinal; a componente longitudinal e a energia misturam-se com fatores e .) - Aplicando isso à partícula 1:
Para a partícula 2:
Passo 4
Definição dos ângulos
no sistema
e expressão em termos das componentes (passo prático).
- No sistema
,
(Aqui usei que
e
tem o sinal indicado, simplificando os sinais.)
Passo 5
Relação direta obtida imediatamente da componente transversal (resultado simples e importante).
- Observando as componentes
no laboratório, a soma das componentes transversais do momento deve ser zero (a partícula-mãe não tinha componente antes da quebra). Isso dá Como e , obtemos a relação simples e útil - Esta é a relação de conservação do momento transversal: ela relaciona os ângulos, mas contém também os módulos dos momentos no laboratório
. É frequentemente a primeira e mais prática relação usada numa prova.
Passo 6
Relação entre
e
em termos de quantidades do
(expressão explícita que mostra como os ângulos se correlacionam).
- Dividindo as expressões do Passo 4 obtemos uma relação direta entre as tangentes:
Esta fórmula diz: dado o ângulo de emissão no centro de massa e as energias (que dependem das massas), obtém-se a razão das tangentes dos ângulos medidos no laboratório. É uma relação exata e relativisticamente correta.
Passo 7
Substituir
por expressões em função das massas (colocar tudo em termos das massas e da velocidade da mãe, se desejado).
- As quantidades em
podem ser escritas só com (veja Passo 1):
- Inserindo estas expressões na relação do Passo 6 obtém-se uma relação entre
e que envolve , (velocidade da mãe) e as massas . Se for desejado eliminar para obter uma relação apenas entre e e os parâmetros do problema, procede-se algébrica e explicitamente (a eliminação é possível, mas gera expressão longa). O ponto prático: as fórmulas do Passo 4–6 são bastante usadas em provas porque permitem relacionar diretamente medidas angulares no laboratório com as quantidades do centro de massa.
Passo 8
Casos especiais (intuição e checagem rápida — útil na prova).
- Se as massas das filhas forem iguais (
) então e as fórmulas simplificam: a razão das tangentes fica Além disso, e no laboratório têm o mesmo módulo se , e então do Passo 5 segue (ou seja, ou , dependendo dos quadrantes), recuperando o caso intuitivo de emissão simétrica. - Se a mãe estiver em repouso no laboratório (
), as fórmulas do Passo 4 reduzem a e : as partículas saem em direções opostas no laboratório, como esperado.