8- Determinar a secção de choque para uma ‘queda’ de partícula (de massa \mathrm{m}_{1} ) sobre a superfície de um corpo esférico (de massa \mathrm{m}_{2} e raio R ) em direção ao qual as partículas são atraídas segundo a lei de Newton.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a secção de choque (área eficaz) para que uma partícula de massa m_1 venha a “cair” e atingir a superfície de um corpo esférico de massa m_2 e raio R, quando a atração entre eles é a gravitação newtoniana.
Informações/condições dadas (explícitas ou implícitas):
  • A interação é a gravitação newtoniana clássica entre as massas m_1 e m_2.
  • A superfície do corpo esférico tem raio R; colisão ocorre se a distância mínima da trajetória for \le R.
  • As partículas vêm de “longe” com velocidade relativa (à infinidade) v_\infty e impacto com parâmetro b (impact parameter). O objetivo é achar a área transversal (secção) \sigma tal que partículas com b\le b_{\max} atinjam a superfície.
  • Não foi dada a suposição m_2\gg m_1; portanto a resolução deve ser feita de maneira geral (mas veremos a redução para m_2\gg m_1 como caso limite).

Passo 2

Escolha do método (por que usar essas ferramentas):
Para problemas de duas partículas sob força central (gravidade) é conveniente descrever o movimento relativo usando a massa reduzida e aplicar conservação de energia e de momento angular. A condição para que a partícula “caia” é que a distância de aproximação mínima r_{\min} seja menor ou igual a R. Vamos, portanto, achar a relação entre o parâmetro de impacto b e r_{\min} usando conservação de energia e momento angular e, do caso limite r_{\min}=R, extrair b_{\max} e \sigma=\pi b_{\max}^2. Esse é o método mais direto e usual para obter a secção gravitacional de captação.

Passo 3

Passando para o problema relativo: massa reduzida e coordenada relativa.
Definir a massa reduzida
\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
No sistema de coordenada relativo, a energia total (por unidade) e o momento angular do movimento relativo são os que determinam a trajetória. A constante gravitacional será G. Vou denominar M_{\rm tot}=m_1+m_2 quando for útil.

Passo 4

Conservação da energia e do momento angular para a condição inicial (infinito) e para um ponto genérico.
  • Energia total (com potencial zero no infinito): a energia relativa inicial é apenas cinética
E=\tfrac{1}{2}\mu v_\infty^2.
Aqui v_\infty é a velocidade relativa entre as massas quando estão muito afastadas (potencial desprezível).
  • Momento angular relativo (módulo) em função do parâmetro de impacto b:
L=\mu v_\infty b.
Expliquei: b é a distância lateral entre a linha de voo da partícula e o centro do corpo quando a partícula estivesse sem atração; por conservação do momento angular o produto \mu v_\infty b permanece.

Passo 5

Energia efetiva radial e interpretação física (potencial efetivo).
No movimento relativo com momento angular L a energia pode ser escrita usando um potencial efetivo
U_{\rm eff}(r)=\frac{L^2}{2\mu r^2}-\frac{G m_1 m_2}{r}.
O primeiro termo é o termo centrífugo (impede aproximação), o segundo é o potencial gravitacional atraente. A aproximação mínima r_{\min} é o ponto onde a velocidade radial é zero, logo
E=U_{\rm eff}(r_{\min}).

Passo 6

Condição de colisão com a superfície: r_{\min}\le R.
O limite para que a trajetória toque a superfície é r_{\min}=R. Assim a condição limítrofe entre atingir ou não a superfície é
E=U_{\rm eff}(R).
Substituiremos E e L nas expressões e resolveremos para o maior b que satisfaz essa igualdade — esse será b_{\max}.

Passo 7

Escrever a equação explícita em termos de b. Substituindo E=\tfrac{1}{2}\mu v_\infty^2 e L=\mu v_\infty b em E=U_{\rm eff}(R):
\tfrac{1}{2}\mu v_\infty^2=\frac{(\mu v_\infty b)^2}{2\mu R^2}-\frac{G m_1 m_2}{R}.
Agora simplificar termo a termo. O termo com L^2 simplifica para
\frac{(\mu v_\infty b)^2}{2\mu R^2}=\frac{1}{2}\mu v_\infty^2\frac{b^2}{R^2}.

Passo 8

Resolver a equação para b^2. Partindo da igualdade
\tfrac{1}{2}\mu v_\infty^2=\tfrac{1}{2}\mu v_\infty^2\frac{b^2}{R^2}-\frac{G m_1 m_2}{R},
isolar o termo com b^2:
\tfrac{1}{2}\mu v_\infty^2\left(1-\frac{b^2}{R^2}\right)=-\frac{G m_1 m_2}{R}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e rearranjando:
\tfrac{1}{2}\mu v_\infty^2\left(\frac{b^2}{R^2}-1\right)=\frac{G m_1 m_2}{R}.
Logo
\frac{b^2}{R^2}-1=\frac{2G m_1 m_2}{\mu v_\infty^2 R}.
Agora usar a identidade m_1 m_2/\mu = m_1+m_2 (porque \mu=\dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}), obtendo
\frac{b^2}{R^2}-1=\frac{2G(m_1+m_2)}{v_\infty^2 R}.
Portanto
b^2=R^2\left(1+\frac{2G(m_1+m_2)}{R v_\infty^2}\right).

Passo 9

Secção de choque (área eficaz) e formas alternativas.
A secção geométrica efetiva para captura é \sigma=\pi b_{\max}^2. Substituindo b_{\max}^2 acima:
\sigma=\pi R^2\left(1+\frac{2G(m_1+m_2)}{R v_\infty^2}\right).
Duas observações úteis:
  • Caso m_2\gg m_1 (corpo massivo fixo) temos m_1+m_2\approx m_2 e a expressão fica a forma usual
\sigma=\pi R^2\left(1+\frac{2G m_2}{R v_\infty^2}\right)=\pi R^2\left(1+\frac{v_{\rm esc}^2}{v_\infty^2}\right),
onde \;v_{\rm esc}=\sqrt{\dfrac{2G m_2}{R}}\; é a velocidade de escape da superfície. Esse termo adicional é o efeito de “focalização gravitacional”: mesmo partículas que inicialmente visariam passar ao lado podem ser desviadas para colidir.
  • Se v_\infty for muito grande, \sigma\to\pi R^2 (domina a secção geométrica). Se v_\infty for pequena, a componente gravitacional aumenta muito a secção.

Passo 10

Resumo físico e checagens rápidas (motivação para prova).
  • Fundamentais a lembrar na prova: trabalhar com a massa reduzida \mu, conservar energia e momento angular, usar o potencial efetivo e impor r_{\min}=R para achar b_{\max}.
  • Expressão final é simples e dimensionalmente correta (área): \sigma tem dimensão de comprimento ao quadrado; o segundo termo dentro do parêntese é adimensional.

Resposta

\sigma=\pi R^2\left(1+\frac{2G(m_1+m_2)}{R v_\infty^2}\right)

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