8- Determinar a secção de choque para uma ‘queda’ de partícula (de massa
) sobre a superfície de um corpo esférico (de massa
e raio R ) em direção ao qual as partículas são atraídas segundo a lei de Newton.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a secção de choque (área eficaz) para que uma partícula de massa
venha a “cair” e atingir a superfície de um corpo esférico de massa
e raio
, quando a atração entre eles é a gravitação newtoniana.
Informações/condições dadas (explícitas ou implícitas):
Informações/condições dadas (explícitas ou implícitas):
- A interação é a gravitação newtoniana clássica entre as massas
e . - A superfície do corpo esférico tem raio
; colisão ocorre se a distância mínima da trajetória for . - As partículas vêm de “longe” com velocidade relativa (à infinidade)
e impacto com parâmetro (impact parameter). O objetivo é achar a área transversal (secção) tal que partículas com atinjam a superfície. - Não foi dada a suposição
; portanto a resolução deve ser feita de maneira geral (mas veremos a redução para como caso limite).
Passo 2
Escolha do método (por que usar essas ferramentas):
Para problemas de duas partículas sob força central (gravidade) é conveniente descrever o movimento relativo usando a massa reduzida e aplicar conservação de energia e de momento angular. A condição para que a partícula “caia” é que a distância de aproximação mínima seja menor ou igual a
. Vamos, portanto, achar a relação entre o parâmetro de impacto
e
usando conservação de energia e momento angular e, do caso limite
, extrair
e
. Esse é o método mais direto e usual para obter a secção gravitacional de captação.
Para problemas de duas partículas sob força central (gravidade) é conveniente descrever o movimento relativo usando a massa reduzida e aplicar conservação de energia e de momento angular. A condição para que a partícula “caia” é que a distância de aproximação mínima
Passo 3
Passando para o problema relativo: massa reduzida e coordenada relativa.
Definir a massa reduzida
Definir a massa reduzida
No sistema de coordenada relativo, a energia total (por unidade) e o momento angular do movimento relativo são os que determinam a trajetória. A constante gravitacional será
. Vou denominar
quando for útil.
Passo 4
Conservação da energia e do momento angular para a condição inicial (infinito) e para um ponto genérico.
- Energia total (com potencial zero no infinito): a energia relativa inicial é apenas cinética
Aqui
é a velocidade relativa entre as massas quando estão muito afastadas (potencial desprezível).
- Momento angular relativo (módulo) em função do parâmetro de impacto
:
Expliquei:
é a distância lateral entre a linha de voo da partícula e o centro do corpo quando a partícula estivesse sem atração; por conservação do momento angular o produto
permanece.
Passo 5
Energia efetiva radial e interpretação física (potencial efetivo).
No movimento relativo com momento angular a energia pode ser escrita usando um potencial efetivo
No movimento relativo com momento angular
O primeiro termo é o termo centrífugo (impede aproximação), o segundo é o potencial gravitacional atraente. A aproximação mínima
é o ponto onde a velocidade radial é zero, logo
Passo 6
Condição de colisão com a superfície:
.
O limite para que a trajetória toque a superfície é . Assim a condição limítrofe entre atingir ou não a superfície é
O limite para que a trajetória toque a superfície é
Substituiremos
e
nas expressões e resolveremos para o maior
que satisfaz essa igualdade — esse será
.
Passo 7
Escrever a equação explícita em termos de
. Substituindo
e
em
:
Agora simplificar termo a termo. O termo com
simplifica para
Passo 8
Resolver a equação para
. Partindo da igualdade
isolar o termo com
:
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando:
Logo
Agora usar a identidade
(porque
), obtendo
Portanto
Passo 9
Secção de choque (área eficaz) e formas alternativas.
A secção geométrica efetiva para captura é . Substituindo
acima:
A secção geométrica efetiva para captura é
Duas observações úteis:
- Caso
(corpo massivo fixo) temos e a expressão fica a forma usual
onde
é a velocidade de escape da superfície. Esse termo adicional é o efeito de “focalização gravitacional”: mesmo partículas que inicialmente visariam passar ao lado podem ser desviadas para colidir.
- Se
for muito grande, (domina a secção geométrica). Se for pequena, a componente gravitacional aumenta muito a secção.
Passo 10
Resumo físico e checagens rápidas (motivação para prova).
- Fundamentais a lembrar na prova: trabalhar com a massa reduzida
, conservar energia e momento angular, usar o potencial efetivo e impor para achar . - Expressão final é simples e dimensionalmente correta (área):
tem dimensão de comprimento ao quadrado; o segundo termo dentro do parêntese é adimensional.