Determinar um vetor que é paralelo a uma reta, a qual é perpendicular ao vetor \vec{n}=(-1,-3), e que passa pelo ponto P_{0}=(-3,-4).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vetor normal \vec{n} = (-1,-3).
  • Ponto P_{0} = (-3,-4).
    O enunciado pede: determinar um vetor que seja paralelo a uma reta que (i) é perpendicular a \vec{n} e (ii) passa por P_{0}. Ou seja, preciso dar um vetor direção da reta que é ortogonal a \vec{n}. Não é pedido o ponto final da reta nem uma equação explícita, apenas um vetor paralelo à reta.

Passo 2

Entendendo a condição “perpendicular”: em \mathbb{R}^2, dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2) são perpendiculares se e somente se o produto escalar deles é zero. O produto escalar é definido por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.
Portanto, para um vetor \vec{v}=(x,y) ser perpendicular a \vec{n}=(-1,-3) devemos ter
(-1,-3)\cdot(x,y)=0.
Isto é a equação que vamos usar para achar \vec{v}.

Passo 3

Escrevendo a condição do produto escalar em forma explícita:
(-1)\cdot x + (-3)\cdot y = 0.
Simplificando,
-x - 3y = 0.
Essa é uma equação linear que relaciona x e y. Podemos rearranjar para obter x em função de y:
x = -3y.

Passo 4

Para obter um vetor concreto, escolhemos um valor simples para y. A escolha típica é y=1 (ou qualquer outro número não nulo). Substituindo y=1 em x=-3y obtemos
x=-3\cdot 1 = -3.
Logo um vetor que satisfaz a condição é
\vec{v}=(-3,1).

Passo 5

Verificação rápida: calcule o produto escalar de \vec{v} com \vec{n}:
(-1,-3)\cdot(-3,1)=(-1)(-3)+(-3)(1)=3-3=0.
Como o produto escalar deu 0, \vec{v}=(-3,1) é de fato perpendicular a \vec{n}, logo é um vetor direção da reta pedida. Observação útil: qualquer múltiplo escalar de \vec{v}, por exemplo (3,-1) ou 2(-3,1)=(-6,2), também serve — são todos vetores paralelos à mesma reta.

Passo 6

Se for útil na prova, a reta que passa por P_{0}=(-3,-4) e tem direção \vec{v}=(-3,1) pode ser escrita parametricamente como
\ell(t)=(-3,-4)+t(-3,1),\qquad t\in\mathbb{R},
mas como o enunciado pediu apenas um vetor paralelo, a resposta essencial é o vetor direção encontrado. Força aí — é um tipo de cálculo que costuma cair direto na prova e é rápido quando se lembra do produto escalar!

Resposta

\vec{v}=(-3,1)

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