Determinar um vetor que é paralelo a uma reta, a qual é perpendicular ao vetor
, e que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Vetor normal
. - Ponto
.
O enunciado pede: determinar um vetor que seja paralelo a uma reta que (i) é perpendicular ae (ii) passa por . Ou seja, preciso dar um vetor direção da reta que é ortogonal a . Não é pedido o ponto final da reta nem uma equação explícita, apenas um vetor paralelo à reta.
Passo 2
Entendendo a condição “perpendicular”: em
, dois vetores
e
são perpendiculares se e somente se o produto escalar deles é zero. O produto escalar é definido por
Portanto, para um vetor
ser perpendicular a
devemos ter
Isto é a equação que vamos usar para achar
.
Passo 3
Escrevendo a condição do produto escalar em forma explícita:
Simplificando,
Essa é uma equação linear que relaciona
e
. Podemos rearranjar para obter
em função de
:
Passo 4
Para obter um vetor concreto, escolhemos um valor simples para
. A escolha típica é
(ou qualquer outro número não nulo). Substituindo
em
obtemos
Logo um vetor que satisfaz a condição é
Passo 5
Verificação rápida: calcule o produto escalar de
com
:
Como o produto escalar deu
,
é de fato perpendicular a
, logo é um vetor direção da reta pedida. Observação útil: qualquer múltiplo escalar de
, por exemplo
ou
, também serve — são todos vetores paralelos à mesma reta.
Passo 6
Se for útil na prova, a reta que passa por
e tem direção
pode ser escrita parametricamente como
mas como o enunciado pediu apenas um vetor paralelo, a resposta essencial é o vetor direção encontrado. Força aí — é um tipo de cálculo que costuma cair direto na prova e é rápido quando se lembra do produto escalar!