Determinar o volume do paralelepípedo definido por boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2} e boldsymbol{w}_{3}. Sendo:
boldsymbol{u}=(1,1,0), \boldsymbol{v}=(2,0,1), \boldsymbol{w}_{1}=3 \boldsymbol{u}-2 \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{2}=\boldsymbol{u}+3 \boldsymbol{v} e boldsymbol{w}_{3}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \boldsymbol{u}=(1,1,0).
  • \boldsymbol{v}=(2,0,1).
  • \boldsymbol{w}_{1}=3\boldsymbol{u}-2\boldsymbol{v}.
  • \boldsymbol{w}_{2}=\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}.
  • \boldsymbol{w}_{3}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
O que se pede: determinar o volume do paralelepípedo definido por \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\boldsymbol{w}_{3}.

Passo 2

Calcular explicitamente as componentes de \boldsymbol{w}_{1} e \boldsymbol{w}_{2} a partir das combinações lineares dadas.
  • Primeiro calcule 3\boldsymbol{u} e 2\boldsymbol{v}:
3\boldsymbol{u}=3(1,1,0)=(3,3,0), \qquad 2\boldsymbol{v}=2(2,0,1)=(4,0,2).
  • Então
\boldsymbol{w}_{1}=3\boldsymbol{u}-2\boldsymbol{v}=(3,3,0)-(4,0,2)=(-1,3,-2).
  • Agora calcule \boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}:
3\boldsymbol{v}=3(2,0,1)=(6,0,3),
\boldsymbol{w}_{2}=\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}=(1,1,0)+(6,0,3)=(7,1,3).
  • E \boldsymbol{w}_{3} escrito em coordenadas é
\boldsymbol{w}_{3}=(1,1,-2).
Resumindo:
\boldsymbol{w}_{1}=(-1,3,-2),\qquad \boldsymbol{w}_{2}=(7,1,3),\qquad \boldsymbol{w}_{3}=(1,1,-2).

Passo 3

Explicar a fórmula do volume e por que ela vale.
  • O volume V do paralelepípedo gerado por três vetores \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (scalar triple product):
V=\left|\det\big[\boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{c}\,\big]\right|=\left|\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\right|.
  • Intuição curta e prática: \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} é um vetor perpendicular cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por \boldsymbol{b} e \boldsymbol{c}. Ao fazer o produto escalar com \boldsymbol{a} (ou seja, \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})) obtém-se a altura projetada vezes essa área, isto é, o volume algébrico; tomando módulo obtemos o volume positivo.
Usaremos a forma
V=\left|\boldsymbol{w}_{1}\cdot(\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3})\right|.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}.
  • Para vetores \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3) e \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3),
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1).
  • Aplicando a \boldsymbol{w}_{2}=(7,1,3) e \boldsymbol{w}_{3}=(1,1,-2):
\begin{aligned} (\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3})_1 &= 1\cdot(-2) - 3\cdot 1 = -2-3 = -5,\\[4pt] (\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3})_2 &= 3\cdot 1 - 7\cdot(-2) = 3+14 = 17,\\[4pt] (\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3})_3 &= 7\cdot 1 - 1\cdot 1 = 7-1 = 6. \end{aligned}
Portanto
\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}=(-5,17,6).]

Passo 5

Calcular o produto escalar \boldsymbol{w}_{1}\cdot(\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}) e então o volume.
  • Com \boldsymbol{w}_{1}=(-1,3,-2) e \boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}=(-5,17,6),
\boldsymbol{w}_{1}\cdot(\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}) =(-1)(-5)+3\cdot17+(-2)\cdot6.
  • Calculando termo a termo:
(-1)(-5)=5,\qquad 3\cdot17=51,\qquad (-2)\cdot6=-12.
5+51-12=44.
  • Assim o produto misto vale 44. O volume é o valor absoluto:
V=\left|44\right|=44.

Passo 6

Breve checagem mental (ajuda a evitar erro): o produto misto é inteiro aqui porque todas as coordenadas eram inteiras e as operações mantiveram integridade; o sinal positivo indica orientação particular, mas o volume é positivo e igual a 44.

Resposta

44

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