Determinar o volume do paralelepípedo definido por
e
. Sendo:
e
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
. -
. -
.
O que se pede: determinar o volume do paralelepípedo definido por
.
Passo 2
Calcular explicitamente as componentes de
e
a partir das combinações lineares dadas.
- Primeiro calcule
e :
- Então
- Agora calcule
:
- E
escrito em coordenadas é
Resumindo:
Passo 3
Explicar a fórmula do volume e por que ela vale.
- O volume
do paralelepípedo gerado por três vetores em é o valor absoluto do produto misto (scalar triple product):
- Intuição curta e prática:
é um vetor perpendicular cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por e . Ao fazer o produto escalar com (ou seja, ) obtém-se a altura projetada vezes essa área, isto é, o volume algébrico; tomando módulo obtemos o volume positivo.
Usaremos a forma
Passo 4
Calcular o produto vetorial
.
- Para vetores
e ,
- Aplicando a
e :
Portanto
Passo 5
Calcular o produto escalar
e então o volume.
- Com
e ,
- Calculando termo a termo:
- Assim o produto misto vale
. O volume é o valor absoluto:
Passo 6
Breve checagem mental (ajuda a evitar erro): o produto misto é inteiro aqui porque todas as coordenadas eram inteiras e as operações mantiveram integridade; o sinal positivo indica orientação particular, mas o volume é positivo e igual a
.