Determinar o volume do paralelepípedo definido por boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2} e boldsymbol{w}_{3}. Sendo:
boldsymbol{u}=(-1,3,0), \boldsymbol{v}=(1,0,-2), \boldsymbol{w}_{1}=3 \boldsymbol{u}-2 \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{2}=\boldsymbol{u}+3 \boldsymbol{v} e boldsymbol{w}_{3}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+2 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\boldsymbol{w}_{3}. As informações dadas são:
\boldsymbol{u}=(-1,3,0),\qquad \boldsymbol{v}=(1,0,-2),
\boldsymbol{w}_{1}=3\boldsymbol{u}-2\boldsymbol{v},\qquad \boldsymbol{w}_{2}=\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v},\qquad \boldsymbol{w}_{3}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}.
A tarefa é calcular o volume numérico desse paralelepípedo.

Passo 2

Conceito que vamos usar (passo didático): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (ou produto triple escalar):
\text{Volume} = \left|\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\right|.
O produto vetorial \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} dá um vetor perpendicular a \boldsymbol{b} e \boldsymbol{c} cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por \boldsymbol{b} e \boldsymbol{c}. Em seguida o produto escalar com \boldsymbol{a} projeta \boldsymbol{a} nessa direção, produzindo o volume algébrico (que pode ser negativo dependendo da orientação); por isso tomamos o valor absoluto. Alternativamente, o produto misto é igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as componentes dos vetores:
\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}) = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\[4pt] a_2 & b_2 & c_2\\[4pt] a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}.
Explico como calcular na prática: calcular \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} usando a regra do determinante 3×3 (expansão por cofactores com as componentes i,j,k), depois fazer o produto escalar com \boldsymbol{a}.]

Passo 3

Primeiro calculamos explicitamente \boldsymbol{w}_{1} e \boldsymbol{w}_{2} pelos combinais lineares dados, componente a componente.
Calcular \boldsymbol{w}_{1}=3\boldsymbol{u}-2\boldsymbol{v}:
3\boldsymbol{u}=3(-1,3,0)=(-3,9,0), \qquad -2\boldsymbol{v}=-2(1,0,-2)=(-2,0,4).
Somando componente a componente:
\boldsymbol{w}_{1}=(-3,9,0)+(-2,0,4)=(-5,9,4).
Calcular \boldsymbol{w}_{2}=\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}:
3\boldsymbol{v}=3(1,0,-2)=(3,0,-6), \qquad \boldsymbol{w}_{2}=(-1,3,0)+(3,0,-6)=(2,3,-6).
Portanto, até agora:
\boldsymbol{w}_{1}=(-5,9,4),\qquad \boldsymbol{w}_{2}=(2,3,-6).

Passo 4

O vetor \boldsymbol{w}_{3} está dado diretamente:
\boldsymbol{w}_{3}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}=(1,1,2).

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial \boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}. Usando a regra do determinante:
\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 3 & -6\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Expandindo por cofactores:
\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3} = \mathbf{i}(3\cdot 2 - (-6)\cdot 1) - \mathbf{j}(2\cdot 2 - (-6)\cdot 1) + \mathbf{k}(2\cdot 1 - 3\cdot 1).
Agora calculamos os produtos internos:
\mathbf{i}(6+6) - \mathbf{j}(4+6) + \mathbf{k}(2-3) = 12\mathbf{i} - 10\mathbf{j} - \mathbf{k}.
Em componentes:
\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}=(12,-10,-1).]

Passo 6

Calculamos o produto escalar \boldsymbol{w}_{1}\cdot(\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}). Com \boldsymbol{w}_{1}=(-5,9,4) e \boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}=(12,-10,-1),
\boldsymbol{w}_{1}\cdot(\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}) = (-5)\cdot 12 + 9\cdot(-10) + 4\cdot(-1).
Calculando termo a termo:
(-5)\cdot 12 = -60,\qquad 9\cdot(-10)=-90,\qquad 4\cdot(-1)=-4.
Somando:
-60 + (-90) + (-4) = -154.

Passo 7

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto:
\text{Volume} = \left|\boldsymbol{w}_{1}\cdot(\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3})\right| = |-154| = 154.
Força aí — deu 154. Lembre-se: na prova, esse procedimento direto (calcular combinações, depois cross e dot) é seguro e rápido se fizer os cálculos com cuidado.

Resposta

154

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