Determinar o volume do paralelepípedo definido por boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2} e boldsymbol{w}_{3}. Sendo: boldsymbol{u}=(-1,3,0), \boldsymbol{v}=(1,0,-2), \boldsymbol{w}_{1}=3 \boldsymbol{u}-2 \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{2}=\boldsymbol{u}+3 \boldsymbol{v} e boldsymbol{w}_{3}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+2 \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\boldsymbol{w}_{3}. As informações dadas são:
A tarefa é calcular o volume numérico desse paralelepípedo.
Passo 2
Conceito que vamos usar (passo didático): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (ou produto triple escalar):
O produto vetorial \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} dá um vetor perpendicular a \boldsymbol{b} e \boldsymbol{c} cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por \boldsymbol{b} e \boldsymbol{c}. Em seguida o produto escalar com \boldsymbol{a} projeta \boldsymbol{a} nessa direção, produzindo o volume algébrico (que pode ser negativo dependendo da orientação); por isso tomamos o valor absoluto. Alternativamente, o produto misto é igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as componentes dos vetores:
Explico como calcular na prática: calcular \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} usando a regra do determinante 3×3 (expansão por cofactores com as componentes i,j,k), depois fazer o produto escalar com \boldsymbol{a}.]
Passo 3
Primeiro calculamos explicitamente \boldsymbol{w}_{1} e \boldsymbol{w}_{2} pelos combinais lineares dados, componente a componente.
Calculamos o produto escalar \boldsymbol{w}_{1}\cdot(\boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}). Com \boldsymbol{w}_{1}=(-5,9,4) e \boldsymbol{w}_{2}\times\boldsymbol{w}_{3}=(12,-10,-1),
Força aí — deu 154. Lembre-se: na prova, esse procedimento direto (calcular combinações, depois cross e dot) é seguro e rápido se fizer os cálculos com cuidado.