Determine uma aplicação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que \operatorname{Im}(T) seja o espaço gerado por \{(1,1,0,1),(2,0,1,1)\}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pede: determinar uma aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 tal que \operatorname{Im}(T) seja exatamente o espaço gerado por \{(1,1,0,1),(2,0,1,1)\}.
Informações dadas (peguei estas do enunciado): os dois vetores geradores sãov_1=(1,1,0,1),\qquad v_2=(2,0,1,1).
Meta clara: construir T (por exemplo, dando a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^4) de modo que \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Passo 2
Ideia do método (sem fazer ainda): se escolhermos a imagem dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3, digamos \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, então a matriz de T terá essas imagens como colunas. Lembrete rápido e didático: para uma transformação linear T, a imagem \operatorname{Im}(T) é exatamente o espaço gerado pelas colunas da matriz de T (quando usamos bases canônicas). Portanto basta escolher colunas que gerem \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Passo 3
Verificar independência de v_1 e v_2 (para entender a dimensão da imagem). Resolver a v_1 + b v_2 = 0. Em componentes:
Da segunda equação vem a=0. Da terceira vem b=0. Logo a=b=0. Portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes e \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2\})=2. Isso confirma que queremos uma imagem de dimensão 2.
Passo 4
Construção concreta de T. Vou usar a base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} de \mathbb{R}^3 e definir
Explicação: as colunas da matriz de T serão exatamente v_1,v_2,v_1+v_2. Como v_1+v_2 já pertence a \operatorname{span}\{v_1,v_2\}, a coluna extra não aumenta o espaço gerado; assim a coluna-espaço será exatamente \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Passo 5
Escrever a matriz de T na base canônica. As colunas são as imagens acima, então
onde a terceira coluna é v_1+v_2=(3,1,1,2). Então, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]
Passo 6
Confirmar que \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Pela construção, \operatorname{Im}(T) é o espaço gerado pelas colunas de A, i.e. \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_1+v_2\}.
Como v_1+v_2\in\operatorname{span}\{v_1,v_2\}, tem-se \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_1+v_2\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Além disso v_1 e v_2 pertencem às colunas (são colunas 1 e 2), logo a igualdade é exata. Como v_1,v_2 são independentes, \dim(\operatorname{Im}(T))=2 como esperávamos.
Passo 7
Observações finais e alternativa: existem infinitas aplicações com essa imagem; qualquer matriz 4\times3 cujas colunas pertençam a \operatorname{span}\{v_1,v_2\} e que contenha pelo menos dois vetores linearmente independentes dessa span funciona. A construção dada é uma escolha simples e explícita.