Determine uma aplicação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que \operatorname{Im}(T) seja o espaço gerado por \{(1,1,0,1),(2,0,1,1)\}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: determinar uma aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 tal que \operatorname{Im}(T) seja exatamente o espaço gerado por \{(1,1,0,1),(2,0,1,1)\}.
  • Informações dadas (peguei estas do enunciado): os dois vetores geradores são v_1=(1,1,0,1),\qquad v_2=(2,0,1,1).
  • Meta clara: construir T (por exemplo, dando a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^4) de modo que \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 2

Ideia do método (sem fazer ainda): se escolhermos a imagem dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3, digamos \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, então a matriz de T terá essas imagens como colunas. Lembrete rápido e didático: para uma transformação linear T, a imagem \operatorname{Im}(T) é exatamente o espaço gerado pelas colunas da matriz de T (quando usamos bases canônicas). Portanto basta escolher colunas que gerem \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 3

Verificar independência de v_1 e v_2 (para entender a dimensão da imagem). Resolver a v_1 + b v_2 = 0. Em componentes:
a+2b=0,\qquad a+0b=0,\qquad 0a+1b=0,\qquad a+1b=0.
Da segunda equação vem a=0. Da terceira vem b=0. Logo a=b=0. Portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes e \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2\})=2. Isso confirma que queremos uma imagem de dimensão 2.

Passo 4

Construção concreta de T. Vou usar a base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} de \mathbb{R}^3 e definir
T(\mathbf{e}_1)=v_1,\qquad T(\mathbf{e}_2)=v_2,\qquad T(\mathbf{e}_3)=v_1+v_2.
Explicação: as colunas da matriz de T serão exatamente v_1,v_2,v_1+v_2. Como v_1+v_2 já pertence a \operatorname{span}\{v_1,v_2\}, a coluna extra não aumenta o espaço gerado; assim a coluna-espaço será exatamente \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 5

Escrever a matriz de T na base canônica. As colunas são as imagens acima, então
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[2pt] 1 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 1\\[2pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix},
onde a terceira coluna é v_1+v_2=(3,1,1,2). Então, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]

Passo 6

Confirmar que \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
  • Pela construção, \operatorname{Im}(T) é o espaço gerado pelas colunas de A, i.e. \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_1+v_2\}.
  • Como v_1+v_2\in\operatorname{span}\{v_1,v_2\}, tem-se \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_1+v_2\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
  • Além disso v_1 e v_2 pertencem às colunas (são colunas 1 e 2), logo a igualdade é exata. Como v_1,v_2 são independentes, \dim(\operatorname{Im}(T))=2 como esperávamos.

Passo 7

Observações finais e alternativa: existem infinitas aplicações com essa imagem; qualquer matriz 4\times3 cujas colunas pertençam a \operatorname{span}\{v_1,v_2\} e que contenha pelo menos dois vetores linearmente independentes dessa span funciona. A construção dada é uma escolha simples e explícita.

Resposta

T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4,\qquad T(x,y,z)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[2pt]1 & 0 & 1\\[2pt]0 & 1 & 1\\[2pt]1 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}.]

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