Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores \mathbf{a}=(3,-1,2) e \mathbf{b}=(1,2,-1). Em seguida, calcule a área do triângulo com vértices A=(1,0,0), B=(0,1,0) e C=(0,0,1).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores \mathbf{a}=(3,-1,2) e \mathbf{b}=(1,2,-1).
Calcular a área do triângulo com vértices A=(1,0,0), B=(0,1,0) e C=(0,0,1).
Informações dadas:
Os vetores usados no primeiro item são \mathbf{a}=(3,-1,2) e \mathbf{b}=(1,2,-1).
As coordenadas dos vértices do triângulo são A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1).
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): a área do paralelogramo formado por dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3 é o módulo (norma) do produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Ou seja,
\text{Área do paralelogramo}=\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.
O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} dá um vetor perpendicular aos dois, e o comprimento desse vetor é exatamente a área do paralelogramo (base vezes altura).
Vamos calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b}. Usamos a fórmula através do determinante com os vetores canônicos:
Conclusão parcial: a área do paralelogramo formado por \mathbf{a} e \mathbf{b} é \sqrt{83}.
Passo 4
Mini-aula para o triângulo: a área de um triângulo determinado por três pontos A,B,C em \mathbb{R}^3 pode ser obtida pegando dois vetores do mesmo vértice, por exemplo \overrightarrow{AB}=B-A e \overrightarrow{AC}=C-A, formando o paralelogramo com esses vetores e dividindo por 2. Ou seja,
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.Áâ
Isso vem porque o paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} tem área igual ao módulo do produto vetorial, e o triângulo é metade desse paralelogramo.
Calculemos os vetores a partir de A=(1,0,0):
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1).
Passo 5
Calcule \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} via determinante:
Pequeno check intuïtivo: os três lados do triângulo têm comprimento \sqrt{2}, pois por exemplo \| \overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}, então é um triângulo equilátero de lado \sqrt{2} e sua área pela fórmula \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2 dá \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot2=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}, confirmando o resultado.