Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores \mathbf{a}=(3,-1,2) e \mathbf{b}=(1,2,-1). Em seguida, calcule a área do triângulo com vértices A=(1,0,0), B=(0,1,0) e C=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores \mathbf{a}=(3,-1,2) e \mathbf{b}=(1,2,-1).
  • Calcular a área do triângulo com vértices A=(1,0,0), B=(0,1,0) e C=(0,0,1).
Informações dadas:
  • Os vetores usados no primeiro item são \mathbf{a}=(3,-1,2) e \mathbf{b}=(1,2,-1).
  • As coordenadas dos vértices do triângulo são A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1).

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): a área do paralelogramo formado por dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3 é o módulo (norma) do produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Ou seja,
\text{Área do paralelogramo}=\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.Á
O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} dá um vetor perpendicular aos dois, e o comprimento desse vetor é exatamente a área do paralelogramo (base vezes altura).
Vamos calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b}. Usamos a fórmula através do determinante com os vetores canônicos:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -1 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente em \mathbf{i}: (-1)\cdot(-1)-2\cdot2 = 1-4 = -3.
  • Componente em \mathbf{j}: 3\cdot(-1)-2\cdot1 = -3-2 = -5. Lembre que aparece com sinal trocado pelo desenvolvimento, então vira +5.
  • Componente em \mathbf{k}: 3\cdot2 - (-1)\cdot1 = 6+1 = 7.
Portanto
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(-3,\,5,\,7).

Passo 3

Agora a norma (magnitude) do vetor \mathbf{a}\times\mathbf{b} é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\sqrt{(-3)^2+5^2+7^2}=\sqrt{9+25+49}=\sqrt{83}.
Conclusão parcial: a área do paralelogramo formado por \mathbf{a} e \mathbf{b} é \sqrt{83}.

Passo 4

Mini-aula para o triângulo: a área de um triângulo determinado por três pontos A,B,C em \mathbb{R}^3 pode ser obtida pegando dois vetores do mesmo vértice, por exemplo \overrightarrow{AB}=B-A e \overrightarrow{AC}=C-A, formando o paralelogramo com esses vetores e dividindo por 2. Ou seja,
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.Áâ
Isso vem porque o paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} tem área igual ao módulo do produto vetorial, e o triângulo é metade desse paralelogramo.
Calculemos os vetores a partir de A=(1,0,0):
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1).

Passo 5

Calcule \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} via determinante:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}.
Componentes:
  • \mathbf{i}: 1\cdot1 - 0\cdot0 = 1.
  • \mathbf{j}: -1\cdot1 - 0\cdot(-1) = -1. Com o sinal trocado do desenvolvimento isso vira +1.
  • \mathbf{k}: -1\cdot0 - 1\cdot(-1) = 0+1 = 1.
Logo
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,1).
A norma é
\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Portanto a área do triângulo é
\frac{1}{2}\sqrt{3}.
Pequeno check intuïtivo: os três lados do triângulo têm comprimento \sqrt{2}, pois por exemplo \| \overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}, então é um triângulo equilátero de lado \sqrt{2} e sua área pela fórmula \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2 \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot2=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}, confirmando o resultado.

Resposta

\sqrt{83}
\dfrac{1}{2}\sqrt{3}

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