(b) Determine bases dos autoespaços de A correspondentes aos autovalores determinados.
(c) Diga qual é a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica dos autovalores.
(d) A matriz A é diagonalizável? Sendo ou não sendo, explique o porquê.
Resolução: (a) Vamos determinar as raízes do polinômio característico \operatorname{det}(A-\lambda I)=0
Em (1) realizamos a operação elementar sobre linhas L_{3}-L_{1} \rightarrow L_{3}. Em (2) colocamos em evidência o(\lambda-1) que está multiplicando a terceira linha. Em (3) realizamos a operação elementar sobre colunas C_{1}+C_{3} \rightarrow C_{1}. Desenvolvendo o último determinante pela terceira linha, segue
\lambda_{1}=1 \quad \text { e } \quad \lambda_{2}=2
(a) Determine os autovalores da matriz
(b) Vamos determinar os autovetores.
(b.1) Correspondentes ao autovalor \lambda_{1}=1. Devemos resolver a equação homogênea \left(A-\lambda_{1} I\right) X =0, escalonando a matriz
que é sua forma escalonada. Se X=\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]^{T} for solução de R_{1} X=0, então y=2 x e x =0. Os autovetores correspondentes a este autovalor são da forma
X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x \\\\ 2 x \\\\ 0 \end{array}\right]=x\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \end{array}\right],
onde x é qualquer número real não nulo. Uma base do autoespaço de A correspondente ao autovalor \lambda_{1}=1 é
que é sua forma escalonada. Se X=\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]^{T} for solução de R_{2} X=0, então x=z e y= -z. Os autovetores correspondentes a este autovalor são da forma
X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} z \\\\ -z \\\ z \end{array}\right]=-z\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right],
onde z é qualquer número real não nulo. Uma base do autoespaço de A correspondente ao autovalor \lambda_{2}=2 é
(c) Quanto às multiplicidades dos autovalores temos
m a(1)=m g(1)=1, \quad m a(2)=2, \quad m g(2)=1 .
(d) A matriz A não é diagonalizável pois a soma das dimensões dos autoespaços é m g(1)+ m g(2)=2. Para uma matriz 3 \times 3 ser diagonalizável, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser igual a 3 . São necessários três autovetores linearmente independentes para formar a matriz P inversível para a qual P^{-1} A P é diagonal.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas e nos dá a matriz A. Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos.
Perguntas:
(a) Determinar os autovalores (os \lambda tais que \det(A-\lambda I)=0).
(b) Determinar bases dos autoespaços de A correspondentes a cada autovalor (ou seja, achar autovetores e bases dos espaços próprios).
(c) Indicar a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
(d) Dizer se A é diagonalizável e explicar o porquê.
Passo 2
Lembrete e estratégia curta (aula rápida): um autovalor \lambda é solução da equação característica
\det(A-\lambda I)=0.
Para calcular esse determinante vamos formar A-\lambda I e usar operações elementares (linhas/colunas) para simplificar o cálculo do determinante. Operações do tipo L_i \leftarrow L_i + c L_j não alteram o determinante; multiplicar uma linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar; fatorar um escalar de uma linha permite colocá-lo fora do determinante.
Agora simplificamos mais usando uma operação de coluna: faça C_{1}\leftarrow C_{1}+C_{3}. Isso também preserva o determinante (adição de coluna). As entradas da primeira coluna passam a ser:
Vamos escalonar para resolver (A-I)X=0. Posso trocar o sinal da primeira linha e usar L_3\leftarrow L_3-L_1 para zerar a terceira linha; uma forma escalonada conveniente é
O sistema (A-2I)X=0 para X=(x,y,z)^{T} corresponde a
\begin{cases} 3x - y -4z = 0,\\\ y + z = 0. \end{cases}
Da segunda equação y=-z\]. Substituindo na primeira:
\[3x -(-z) -4z = 0 \;\Rightarrow\; 3x -3z = 0 \;\Rightarrow\; x=z.\]
Logo as soluções são
\[X=\left[\begin{array}{c} z\\\\ -z\\\ z\end{array}\right]=z\left[\begin{array}{c}1\\\ -1\\\ 1\end{array}\right],\quad z\neq 0.\]
Uma base do autoespaço associado a \(\lambda=2 é
Observação importante (regra geral): sempre vale 1\le m_g(\lambda)\le m_a(\lambda).
Passo 11
(item (d)) Critério de diagonalizabilidade: uma matriz n\times n é diagonalizável sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) se e somente se existe uma base de \mathbb{R}^n formada por autovetores, ou equivalentemente se a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores for n. Outra forma: para cada autovalor é necessário que m_g(\lambda)=m_a(\lambda).
No nosso caso n=3 e temos m_g(1)+m_g(2)=1+1=2<3. Em particular m_g(2)=1<m_a(2)=2, ou seja falta um segundo autovetor independente associado a \lambda=2. Portanto não existem 3 autovetores linearmente independentes e a matriz A não é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=2 (com \lambda=2 de multiplicidade algébrica 2).
(b) Bases dos autoespaços: para \lambda=1 a base é \left\{\left[\begin{array}{c}1\\\ 2\\\ 0\end{array}\right]\right\}; para \lambda=2 a base é \left\{\left[\begin{array}{c}1\\\ -1\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
(c) Multiplicidades: m_a(1)=1,\; m_g(1)=1;\quad m_a(2)=2,\; m_g(2)=1.
(d) A não é diagonalizável, pois a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1=2<3 (falta um autovetor independente para completar uma base de \mathbb{R}^3).