Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas:
2 x+y+2 z=0

Passo 1

O enunciado dá uma única equação linear homogênea em três incógnitas e pede três coisas:
  • Determinar uma base do espaço solução (ou seja, uma base do núcleo da transformação linear dada pela equação).
  • Determinar a dimensão desse espaço solução.
  • Expressar o espaço solução em equações paramétricas (ou seja, escrever todos os vetores solução em função de parâmetros livres).
Informações fornecidas:
2x+y+2z=0.

Passo 2

Primeira ação: entender o que significa resolver um sistema homogêneo com uma equação em três incógnitas. A equação
2x+y+2z=0
é homogênea porque o lado direito é zero. Geometricamente, no espaço \mathbb{R}^3 as soluções formam um subespaço que passa pela origem (uma reta, um plano, ou o próprio ponto \{0\}). Algebraicamente, vamos encontrar todas as tripletas (x,y,z) que satisfazem a equação.

Passo 3

Resolver explicitamente a equação isolando uma variável em função das outras. Aqui é natural isolar x:
2x+y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad 2x = -y-2z \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{y}{2}-z.
Explicando passo a passo: subtrai-se y e 2z de ambos os lados e divide-se por 2. Cada símbolo significa:
  • x,y,z são as incógnitas reais;
  • o resultado dá x em função de y e z.

Passo 4

Escolher parâmetros livres para representar todas as soluções. As variáveis y e z não estão restritas (são livres), então podemos expressá-las em termos de parâmetros. Para evitar frações na base escolhida, é conveniente tomar y múltiplo de 2. Faça a substituição
y = 2s,\qquad z = t,
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Então
x = -\frac{y}{2}-z = -\frac{2s}{2}-t = -s-t.

Passo 5

Escrever o vetor solução (x,y,z) em função de s e t. Substituindo:
(x,y,z) = (-s-t,\;2s,\;t).
Agora separar os termos com s e com t:
(x,y,z) = s(-1,2,0) + t(-1,0,1).
Isto mostra que todo vetor solução é combinação linear dos vetores v_1 = (-1,2,0) e v_2 = (-1,0,1).

Passo 6

Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do espaço solução. Para ver independência, note que não existe escalar \lambda tal que v_1=\lambda v_2: comparar as segundas coordenadas dá 2 = \lambda\cdot 0, impossível. Logo são independentes. Como encontramos dois vetores independentes que geram o espaço solução e estamos em \mathbb{R}^3 com apenas uma equação não-trivial, a dimensão do espaço solução é 2 (também visto pela fórmula \dim(\ker)=n-\operatorname{rank}, aqui n=3 e \operatorname{rank}=1).

Passo 7

Resumo didático do método (para usar na prova):
  • Em um sistema homogêneo com menos equações que incógnitas, escolha variáveis livres para as incógnitas que não aparecem como pivôs.
  • Isolar uma variável por equação (aqui isolou-se x).
  • Introduzir parâmetros para as variáveis livres e escrever o vetor solução como combinação linear dos vetores obtidos ao pôr cada parâmetro igual a 1 e os outros 0.
  • Os vetores obtidos formam uma base do espaço solução se forem linearmente independentes. A dimensão é o número de parâmetros livres.

Resposta

Base: \{(-1,2,0),\;(-1,0,1)\}
Dimensão: \,2
Espaço solução (paramétrico): \{\,s(-1,2,0)+t(-1,0,1)\mid s,t\in\mathbb{R}\,\}

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