Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas:
Passo 1
O enunciado dá uma única equação linear homogênea em três incógnitas e pede três coisas:
- Determinar uma base do espaço solução (ou seja, uma base do núcleo da transformação linear dada pela equação).
- Determinar a dimensão desse espaço solução.
- Expressar o espaço solução em equações paramétricas (ou seja, escrever todos os vetores solução em função de parâmetros livres).
Informações fornecidas:
Passo 2
Primeira ação: entender o que significa resolver um sistema homogêneo com uma equação em três incógnitas. A equação
é homogênea porque o lado direito é zero. Geometricamente, no espaço
as soluções formam um subespaço que passa pela origem (uma reta, um plano, ou o próprio ponto
). Algebraicamente, vamos encontrar todas as tripletas
que satisfazem a equação.
Passo 3
Resolver explicitamente a equação isolando uma variável em função das outras. Aqui é natural isolar
:
Explicando passo a passo: subtrai-se
e
de ambos os lados e divide-se por
. Cada símbolo significa:
-
são as incógnitas reais; - o resultado dá
em função de e .
Passo 4
Escolher parâmetros livres para representar todas as soluções. As variáveis
e
não estão restritas (são livres), então podemos expressá-las em termos de parâmetros. Para evitar frações na base escolhida, é conveniente tomar
múltiplo de
. Faça a substituição
onde
são parâmetros livres. Então
Passo 5
Escrever o vetor solução
em função de
e
. Substituindo:
Agora separar os termos com
e com
:
Isto mostra que todo vetor solução é combinação linear dos vetores
e
.
Passo 6
Verificar que
e
são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do espaço solução. Para ver independência, note que não existe escalar
tal que
: comparar as segundas coordenadas dá
, impossível. Logo são independentes. Como encontramos dois vetores independentes que geram o espaço solução e estamos em
com apenas uma equação não-trivial, a dimensão do espaço solução é
(também visto pela fórmula
, aqui
e
).
Passo 7
Resumo didático do método (para usar na prova):
- Em um sistema homogêneo com menos equações que incógnitas, escolha variáveis livres para as incógnitas que não aparecem como pivôs.
- Isolar uma variável por equação (aqui isolou-se
). - Introduzir parâmetros para as variáveis livres e escrever o vetor solução como combinação linear dos vetores obtidos ao pôr cada parâmetro igual a
e os outros . - Os vetores obtidos formam uma base do espaço solução se forem linearmente independentes. A dimensão é o número de parâmetros livres.
Resposta
Base:
Dimensão:
Espaço solução (paramétrico):