Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas: \left\{\begin{array}{l}x-2 y=0 \\\ x+y+z=0 \\\\ 2 x-y+z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo abaixo e pede três coisas: determinar uma base do espaço solução, a dimensão desse espaço e expressar o conjunto solução em forma paramétrica.
É um sistema homogêneo (termos independentes todos iguais a 0).
As incógnitas são x,y,z.
Pedidos: (i) uma base do espaço solução (o núcleo da matriz dos coeficientes), (ii) a dimensão desse espaço, (iii) a expressão paramétrica das soluções.]
Passo 2
Montar a matriz aumentada (com a coluna de zeros) e usar eliminação por linhas (operações elementares de linha) para encontrar as relações entre x,y,z. Recordando rapidamente: operações permitidas que não mudam o conjunto solução são (i) trocar linhas, (ii) multiplicar uma linha por número não nulo, (iii) somar a múltipla de uma linha a outra. A matriz aumentada é
Interpretando a matriz escalonada: há pivôs nas colunas 1 e 2 (coluna de x\) e coluna de \(y\)). A coluna de \(z\) não tem pivô, logo \(z\) é variável livre. Escrevendo as equações correspondentes às linhas não nulas:
\[\begin{cases} x-2y=0,\\[4pt] 3y+z=0. \end{cases}
Explicando: um pivô numa coluna significa que a variável correspondente pode ser resolvida em função das variáveis livres; uma coluna sem pivô corresponde a uma variável livre que pode receber qualquer valor real. Aqui temos exatamente uma variável livre ((z]), portanto esperamos um espaço solução unidimensional.]
Passo 5
Expressar as variáveis em função de um parâmetro. Seja \;t=z\in\mathbb{R}\; o parâmetro. Da segunda equação:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda fornece um gerador com coordenadas inteiras.
Passo 6
Identificar a base e a dimensão:
O espaço solução (o núcleo da matriz) é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor (-2,-1,3). Logo um conjunto gerador minimal (uma base) é \{(-2,-1,3)\}.
Verificação rápida de independência: um conjunto com um único vetor não-nulo é linearmente independente. Portanto a base tem um vetor e o espaço é de dimensão 1.
Conclusão prática: todas as soluções do sistema são (x,y,z)=s(-2,-1,3) com s\in\mathbb{R}.