Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas:
\left\{\begin{array}{l}x-2 y=0 \\\ x+y+z=0 \\\\ 2 x-y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo abaixo e pede três coisas: determinar uma base do espaço solução, a dimensão desse espaço e expressar o conjunto solução em forma paramétrica.
\begin{cases} x-2y=0\\[4pt] x+y+z=0\\[4pt] 2x-y+z=0 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • É um sistema homogêneo (termos independentes todos iguais a 0).
  • As incógnitas são x,y,z.
  • Pedidos: (i) uma base do espaço solução (o núcleo da matriz dos coeficientes), (ii) a dimensão desse espaço, (iii) a expressão paramétrica das soluções.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada (com a coluna de zeros) e usar eliminação por linhas (operações elementares de linha) para encontrar as relações entre x,y,z. Recordando rapidamente: operações permitidas que não mudam o conjunto solução são (i) trocar linhas, (ii) multiplicar uma linha por número não nulo, (iii) somar a múltipla de uma linha a outra. A matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right).]

Passo 3

Eliminação passo a passo para zerar entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
    Calculemos cada nova linha:
R_2: (1-1,\;1-(-2),\;1-0\;|\;0-0)=(0,3,1\;|\;0),
R_3: (2-2,\;-1-2(-2),\;1-2\cdot0\;|\;0-0)=(0,3,1\;|\;0).
A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 0 \end{array}\right).
Agora faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2, obtendo linha zero:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).]

Passo 4

Interpretando a matriz escalonada: há pivôs nas colunas 1 e 2 (coluna de x\) e coluna de \(y\)). A coluna de \(z\) não tem pivô, logo \(z\) é variável livre. Escrevendo as equações correspondentes às linhas não nulas: \[\begin{cases} x-2y=0,\\[4pt] 3y+z=0. \end{cases}
Explicando: um pivô numa coluna significa que a variável correspondente pode ser resolvida em função das variáveis livres; uma coluna sem pivô corresponde a uma variável livre que pode receber qualquer valor real. Aqui temos exatamente uma variável livre ((z]), portanto esperamos um espaço solução unidimensional.]

Passo 5

Expressar as variáveis em função de um parâmetro. Seja \;t=z\in\mathbb{R}\; o parâmetro. Da segunda equação:
3y+z=0 \quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{z}{3}=-\dfrac{t}{3}.
Da primeira equação:
x-2y=0 \quad\Rightarrow\quad x=2y=2\!\left(-\dfrac{t}{3}\right)=-\dfrac{2t}{3}.
Portanto a solução geral é
(x,y,z)=\left(-\dfrac{2t}{3},-\dfrac{t}{3},t\right)=t\left(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3},1\right),\qquad t\in\mathbb{R}.
Para evitar frações e apresentar uma base com coordenadas inteiras, podemos reparametrizar: tome s=\dfrac{t}{3}. Então t=3s e
(x,y,z)=3s\left(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3},1\right)=s(-2,-1,3),\qquad s\in\mathbb{R}.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda fornece um gerador com coordenadas inteiras.

Passo 6

Identificar a base e a dimensão:
  • O espaço solução (o núcleo da matriz) é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor (-2,-1,3). Logo um conjunto gerador minimal (uma base) é \{(-2,-1,3)\}.
  • Verificação rápida de independência: um conjunto com um único vetor não-nulo é linearmente independente. Portanto a base tem um vetor e o espaço é de dimensão 1.
  • Conclusão prática: todas as soluções do sistema são (x,y,z)=s(-2,-1,3) com s\in\mathbb{R}.

Resposta

\text{Base}=\{(-2,-1,3)\}
\dim=1
\{(x,y,z)=s(-2,-1,3)\mid s\in\mathbb{R}\}

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