Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas:
\left\{\begin{array}{l}2 x+w=0 \\\ x-y+z+w=0 \\\\ 3 x-y-z=0 \\\\ 3 x-y+w=0\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar exatamente o que está no enunciado):
  • Sistema homogêneo com incógnitas x,y,z,w:
\begin{cases} 2x + w = 0,\\[4pt] x - y + z + w = 0,\\[4pt] 3x - y - z = 0,\\[4pt] 3x - y + w = 0. \end{cases}
  • O enunciado pede:
    • determinar uma base do espaço solução (ou seja, da solução homogênea);
    • determinar a dimensão desse espaço solução;
    • escrever o espaço solução em equações paramétricas.]

Passo 2

Vou montar a matriz dos coeficientes (como o sistema é homogêneo não preciso de coluna dos termos independentes, todos são 0). Tomando a ordem de variáveis (x,y,z,w), a matriz é
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
A estratégia é aplicar eliminação de Gauss para levar A a uma forma escalonada (e depois reduzi-la) e assim descobrir quais variáveis são pivôs e quais são livres.]

Passo 3

Troco a primeira linha pela segunda para começar com um pivô 1 na coluna de x:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 3 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Elimino x nas linhas 2,3,4:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 [0,\;2,\;-2,\;-1].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 [0,\;2,\;-4,\;-3].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1 [0,\;2,\;-3,\;-2].
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -4 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -3 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Faço a segunda linha com pivô 1 dividindo R_2 por 2:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2 = [0,\;1,\;-1,\;-{\tfrac{1}{2}}].
Elimino a coluna 2 nas linhas 3 e 4:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 [0,\;0,\;-2,\;-2].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2 [0,\;0,\;-1,\;-1].
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para o terceiro pivô, divido R_3 por -2:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{-2}R_3 = [0,\;0,\;1,\;1].
Elimino a coluna 3 nas linhas acima e abaixo:
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_3 torna R_4 nula: [0,0,0,0].
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_3 [0,1,0,\tfrac{1}{2}].
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3 [1,-1,0,0].
Depois faço R_1 \leftarrow R_1 + R_2 para zerar o -1 em y:
R_1 = [1,0,0,\tfrac{1}{2}].
A forma reduzida (RREF) obtida é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

A leitura da RREF fornece as equações (lembrando que é sistema homogêneo, lado direito =0):
\begin{aligned} x + \tfrac{1}{2}w &= 0,\\[4pt] y + \tfrac{1}{2}w &= 0,\\[4pt] z + 1\cdot w &= 0. \end{aligned}
Portanto x,y,z são expressos em função de w. Escolho w como parâmetro: seja t\in\mathbb{R} e w=t. Então
x = -\tfrac{1}{2}t,\qquad y = -\tfrac{1}{2}t,\qquad z = -1\cdot t,\qquad w = t.
Escrevendo em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\\[4pt]w\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Para apresentar uma base com entradas inteiras, multiplico o vetor por 2 (isso não altera o espaço gerado):
t\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad s= \tfrac{t}{2}\in\mathbb{R}.]

Passo 7

Conclusões e interpretação:
  • Há exatamente uma variável livre ( w), logo o espaço solução é de dimensão 1.
  • O posto ( \operatorname{rank}(A)) é 3 (três pivôs) e vale a fórmula \text{rank} + \text{nullidade} = 4, confirmando \text{nullidade}=1.
  • Uma base conveniente do espaço solução é formada por um único vetor (qualquer múltiplo não-nulo do vetor encontrado). Vou escolher o vetor com entradas inteiras para ficar mais limpo.

Resposta

Base: \left\{\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}
Dimensão: \dim = 1
Espaço solução (paramétrico): \displaystyle \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\\[4pt]w\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}]

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