Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas: \left\{\begin{array}{l}2 x+w=0 \\\ x-y+z+w=0 \\\\ 3 x-y-z=0 \\\\ 3 x-y+w=0\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou listar exatamente o que está no enunciado):
Sistema homogêneo com incógnitas x,y,z,w:
\begin{cases} 2x + w = 0,\\[4pt] x - y + z + w = 0,\\[4pt] 3x - y - z = 0,\\[4pt] 3x - y + w = 0. \end{cases}
O enunciado pede:
determinar uma base do espaço solução (ou seja, da solução homogênea);
determinar a dimensão desse espaço solução;
escrever o espaço solução em equações paramétricas.]
Passo 2
Vou montar a matriz dos coeficientes (como o sistema é homogêneo não preciso de coluna dos termos independentes, todos são 0). Tomando a ordem de variáveis (x,y,z,w), a matriz é
A estratégia é aplicar eliminação de Gauss para levar A a uma forma escalonada (e depois reduzi-la) e assim descobrir quais variáveis são pivôs e quais são livres.]
Passo 3
Troco a primeira linha pela segunda para começar com um pivô 1 na coluna de x:
Há exatamente uma variável livre (w), logo o espaço solução é de dimensão 1.
O posto (\operatorname{rank}(A)) é 3 (três pivôs) e vale a fórmula \text{rank} + \text{nullidade} = 4, confirmando \text{nullidade}=1.
Uma base conveniente do espaço solução é formada por um único vetor (qualquer múltiplo não-nulo do vetor encontrado). Vou escolher o vetor com entradas inteiras para ficar mais limpo.