Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas:
x+y-z+w=0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo com quatro incógnitas e uma equação. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado.
  • Sistema: x+y-z+w=0.
  • Incógnitas: x,\;y,\;z,\;w.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar uma base do espaço solução (o núcleo da aplicação associada ao sistema).
    • Determinar a dimensão desse espaço solução.
    • Expressar o espaço solução em equações paramétricas (ou seja, escrever x,y,z,w em função de parâmetros livres).

Passo 2

Entendendo o tipo de sistema e o número de equações independentes.
  • É um sistema homogêneo porque o termo independente é zero (lado direito igual a zero).
  • A matriz dos coeficientes é uma única linha \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 1\end{pmatrix}. Essa linha é não nula, logo o posto (rank) da matriz é 1. Explanação curta: o posto é o número de equações linearmente independentes; aqui só há uma equação não redundante.
  • Como há 4 incógnitas e o posto é 1, o número de variáveis livres será 4-1=3. Isso já nos dá a expectativa de que a dimensão do espaço solução será 3.

Passo 3

Escolher variáveis livres e isolar a variável líder (pivot).
  • A equação original é x+y-z+w=0.
  • Escolho como variáveis livres: y,\;z,\;w. Isso é uma escolha comum e simples; poderia escolher qualquer conjunto de três variáveis.
  • Isolo x (a variável associada ao coeficiente pivot 1): x = -y + z - w.
  • Agora introduzo parâmetros para as variáveis livres para escrever a solução de forma paramétrica. Defino y = s,\qquad z = t,\qquad w = u,onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros livres.

Passo 4

Escrever a solução geral em forma vetorial e separar em combinações lineares.
  • Substituindo os parâmetros na expressão de x: x = -s + t - u.
  • Portanto o vetor solução \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} é \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-s+t-u\\\ s\\\ t\\\ u\end{pmatrix}.
  • Reescrevendo como combinação linear dos parâmetros: \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Verificar que os três vetores formam uma base do espaço solução (span e independência linear) e concluir a dimensão.
  • Os três vetores candidatos são v_1=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Eles geram (span) o espaço solução porque qualquer solução foi escrita como combinação s v_1 + t v_2 + u v_3.
  • São linearmente independentes: suponha a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0. Olhando componente a componente:
    • segunda componente dá a = 0.
    • terceira componente dá b = 0.
    • quarta componente dá c = 0.
      Logo a=b=c=0, independência provada.
  • Como há 3 vetores independentes na base, a dimensão do espaço solução é 3. Isso bate com a conta \text{dim} = 4 - \text{posto} = 4 - 1 = 3.

Passo 6

Resumo prático (como escrever rapidamente na prova).
  • Escolha 3 variáveis livres (por exemplo y,z,w), escreva x em função delas: x=-y+z-w.
  • Introduza parâmetros s,y, t,z, u,w e escreva o vetor solução como combinação linear de 3 vetores — esses vetores formam uma base. A dimensão é o número de parâmetros livres (aqui 3).

Resposta

Base: \left\{\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\n
Dimensão: 3\n
Espaço solução (equações paramétricas): \begin{cases} x = -s + t - u,\\[4pt] y = s,\\[4pt] z = t,\\[4pt] w = u, \end{cases}\quad s,t,u\in\mathbb{R}.]

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