Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas:
x+y-z+w=0
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo com quatro incógnitas e uma equação. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado.
Sistema: x+y-z+w=0.
Incógnitas: x,\;y,\;z,\;w.
O que o enunciado pede:
Determinar uma base do espaço solução (o núcleo da aplicação associada ao sistema).
Determinar a dimensão desse espaço solução.
Expressar o espaço solução em equações paramétricas (ou seja, escrever x,y,z,w em função de parâmetros livres).
Passo 2
Entendendo o tipo de sistema e o número de equações independentes.
É um sistema homogêneo porque o termo independente é zero (lado direito igual a zero).
A matriz dos coeficientes é uma única linha \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 1\end{pmatrix}. Essa linha é não nula, logo o posto (rank) da matriz é 1. Explanação curta: o posto é o número de equações linearmente independentes; aqui só há uma equação não redundante.
Como há 4 incógnitas e o posto é 1, o número de variáveis livres será 4-1=3. Isso já nos dá a expectativa de que a dimensão do espaço solução será 3.
Passo 3
Escolher variáveis livres e isolar a variável líder (pivot).
A equação original é x+y-z+w=0.
Escolho como variáveis livres: y,\;z,\;w. Isso é uma escolha comum e simples; poderia escolher qualquer conjunto de três variáveis.
Isolo x (a variável associada ao coeficiente pivot 1): x = -y + z - w.
Agora introduzo parâmetros para as variáveis livres para escrever a solução de forma paramétrica. Definoy = s,\qquad z = t,\qquad w = u,onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros livres.
Passo 4
Escrever a solução geral em forma vetorial e separar em combinações lineares.
Substituindo os parâmetros na expressão de x:x = -s + t - u.
Reescrevendo como combinação linear dos parâmetros:\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Passo 5
Verificar que os três vetores formam uma base do espaço solução (span e independência linear) e concluir a dimensão.
Os três vetores candidatos sãov_1=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Eles geram (span) o espaço solução porque qualquer solução foi escrita como combinação s v_1 + t v_2 + u v_3.
São linearmente independentes: suponha a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0. Olhando componente a componente:
segunda componente dá a = 0.
terceira componente dá b = 0.
quarta componente dá c = 0.
Logo a=b=c=0, independência provada.
Como há 3 vetores independentes na base, a dimensão do espaço solução é 3. Isso bate com a conta \text{dim} = 4 - \text{posto} = 4 - 1 = 3.
Passo 6
Resumo prático (como escrever rapidamente na prova).
Escolha 3 variáveis livres (por exemplo y,z,w), escreva x em função delas: x=-y+z-w.
Introduza parâmetros s,y, t,z, u,w e escreva o vetor solução como combinação linear de 3 vetores — esses vetores formam uma base. A dimensão é o número de parâmetros livres (aqui 3).