Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas: \left\{\begin{array}{l}y+z=0 \\\ w=0 \\\ y+z-w=0 \\\\ 2 y+2 z+w=0\end{array}\right.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede. O sistema homogêneo é
As incógnitas assumidas são (x,y,z,w) (repare que x não aparece nas equações). O enunciado pede três coisas:
Determinar uma base do espaço solução;
Determinar a dimensão desse espaço;
Expressar o espaço solução em equações paramétricas.]
Passo 2
Explico o raciocínio que vamos usar (passo a passo, como numa prova):
Como o sistema é homogêneo, as soluções formam um subespaço linear de \mathbb{R}^4.
Para achar esse subespaço, faz-se eliminação das equações (redução de Gauss) sobre a matriz dos coeficientes e depois expressa-se as variáveis livres como parâmetros.
A dimensão do espaço solução é o número de variáveis livres; também vale a conta \dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A), onde n é o número de incógnitas.
Passo 3
Escrevendo a matriz dos coeficientes (colunas ordenadas como x,y,z,w) e a parte direita (tudo zero porque é homogêneo):