Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas:
\left\{\begin{array}{l}y+z=0 \\\ w=0 \\\ y+z-w=0 \\\\ 2 y+2 z+w=0\end{array}\right.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede. O sistema homogêneo é
\begin{cases} y+z=0,\\[4pt] w=0,\\[4pt] y+z-w=0,\\[4pt] 2y+2z+w=0. \end{cases}
As incógnitas assumidas são (x,y,z,w) (repare que x não aparece nas equações). O enunciado pede três coisas:
  • Determinar uma base do espaço solução;
  • Determinar a dimensão desse espaço;
  • Expressar o espaço solução em equações paramétricas.]

Passo 2

Explico o raciocínio que vamos usar (passo a passo, como numa prova):
  • Como o sistema é homogêneo, as soluções formam um subespaço linear de \mathbb{R}^4.
  • Para achar esse subespaço, faz-se eliminação das equações (redução de Gauss) sobre a matriz dos coeficientes e depois expressa-se as variáveis livres como parâmetros.
  • A dimensão do espaço solução é o número de variáveis livres; também vale a conta \dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A), onde n é o número de incógnitas.

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes (colunas ordenadas como x,y,z,w) e a parte direita (tudo zero porque é homogêneo):
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}
Agora aplico operações de linhas para identificar as equações independentes. Observando:
  • A primeira linha corresponde a y+z=0.
  • A segunda linha corresponde a w=0.
  • Subtraindo a primeira linha da terceira obtemos uma linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ -1], que é múltipla da segunda.
  • Subtraindo 2 vezes a primeira linha da quarta obtemos [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1], que também é múltipla da segunda.
Portanto as linhas independentes são apenas duas (as que dão y+z=0 e w=0). Logo \operatorname{rank}(A)=2.]

Passo 4

Usando \operatorname{rank}(A)=2 em \dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A) com n=4 (quatro incógnitas), temos
\dim(\ker A)=4-2=2.
Isto confirma que o espaço solução tem dimensão 2, ou seja, tem dois parâmetros livres.

Passo 5

Agora resolvo explicitamente as equações independentes:
y+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=-y,
w=0.
A variável x não aparece nas equações, então x é livre. Tomemos parâmetros s e t para as variáveis livres:
x=s,\qquad y=t.
Com z=-y e w=0 obtemos
(x,y,z,w)=(s,t,-t,0).
Escrevendo em forma linear:
(s,t,-t,0)=s\,(1,0,0,0)+t\,(0,1,-1,0).
Os vetores (1,0,0,0) e (0,1,-1,0) são linearmente independentes (porque nenhum é múltiplo do outro), logo formam uma base do espaço solução.

Passo 6

Resumo prático (pronto para usar na prova):
  • parâmetros: s,t\in\mathbb{R};
  • solução geral: (x,y,z,w)=(s,t,-t,0);
  • geradores/basis candidatos: (1,0,0,0) e (0,1,-1,0);
  • dimensão: 2.

Resposta

Base: \{(1,0,0,0),\\ (0,1,-1,0)\}
Dimensão: \;2
Espaço solução (paramétrico): \{(s,t,-t,0)\mid s,t\in\mathbb{R}\}=s(1,0,0,0)+t(0,1,-1,0)

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