Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas: \left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{5}=0 \\\\ -x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{5}=0 \\\ x_{2}-x_{3}-x_{4}=0 \\\ x_{2}+x_{3}-2 x_{5}=0 \\\ x_{1}-2 x_{3}-x_{4}-x_{5}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema homogêneo com cinco incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}:
Determinar uma base do espaço solução (ou seja, uma base do núcleo da matriz dos coeficientes).
Determinar a dimensão desse espaço solução.
Expressar o espaço solução em equações paramétricas (forma vetorial com parâmetros).
Todas as informações do problema já estão listadas acima; a resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Transformar o sistema em forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{0}. A matriz dos coeficientes A (linhas correspondendo às equações e colunas às incógnitas x_1,\dots,x_5) é
O objetivo é achar todas as soluções de A\mathbf{x}=\mathbf{0}. Usarei eliminação de Gauss (operações elementares sobre as linhas) para encontrar a forma escalonada e identificar variáveis-pivô e variáveis livres.
Breve explicação didática: uma operação elementar do tipo R_i\leftarrow R_i + c R_j combina linhas sem mudar o espaço solução. Quando chegarmos à forma escalonada veremos quais incógnitas são determinadas (pivôs) e quais podem ser escolhidas livremente (parâmetros). O número de variáveis livres será a dimensão do espaço solução, e cada parâmetro vai gerar um vetor de base.]
Passo 3
Começo a eliminar entradas abaixo do pivô da primeira coluna. A matriz inicial é (repetida para referência):
Agora vejo que a linha 2 e a linha 4 são iguais. Faço R_4\leftarrow R_4-R_2 (elimina linha 4) e também R_3\leftarrow R_3-R_2 para simplificar a linha 3. Isso dá
Explicação curta: subtrair linhas parecidas ajuda a expor pivôs independentes e reduzir redundâncias entre equações.]
Passo 5
Compare as linhas 3 e 5: ambas têm coeficientes em colunas 3 e 4, mas entradas diferentes na coluna 5. Faço R_5\leftarrow R_5-R_3 para eliminar as colunas 3 e 4 de R_5, obtendo
Essa última linha dá a equação -2x_5=0, ou seja x_5=0. Isso é informação direta sobre x_5.]
Passo 6
Para simplificar a gestão dos pivôs, troco a linha 3 pela linha 5 (para ter o pivô de x_5 mais “acima”) e faço escalonamento dessa linha:
troca R_3\leftrightarrow R_5 e em seguida R_3\leftarrow \frac{1}{-2}R_3. Assim:
antes da escala a linha 3 era [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ -2], dividindo por -2 obtemos [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1]. A matriz fica
Agora uso a linha com o pivô em x_5 para zerar as entradas acima na coluna 5: faço R_1\leftarrow R_1+R_3 e R_2\leftarrow R_2+2R_3. Também atualizo a última linha para zerar sua coluna 5: R_5\leftarrow R_5-2R_3. Isso resulta em
Agora uso essa linha (pivô em x_3) para eliminar o coeficiente de x_3 em R_2: faço R_2\leftarrow R_2-R_5. Resultado final em forma escalonada reduzida (suficiente para ler as equações) é
Interpreto as linhas resultantes como equações para as incógnitas (cada linha corresponde a uma equação linear):
Da primeira linha: x_1=0.
Da segunda linha: x_2 - \tfrac{1}{2}x_4 = 0, ou seja x_2=\tfrac{1}{2}x_4.
Da terceira linha: x_5=0.
Da quinta linha: x_3 + \tfrac{1}{2}x_4 = 0, ou seja x_3 = -\tfrac{1}{2}x_4.
A quarta linha é nula, sem informação adicional.
Aqui aparece claramente que a única variável livre é x_4 (posso escolher x_4 arbitrariamente). As variáveis pivô são x_1,x_2,x_3,x_5 e ficam expressas em função de x_4.
Passo 9
Escolho um parâmetro para a variável livre: seja t\in\mathbb{R} e ponho x_4=t. Então
Para evitar frações e dar uma base com entradas inteiras, podemos reparametrizar com s=\tfrac{t}{2} (ou simplesmente multiplicar o vetor por 2). Com s\in\mathbb{R} obtemos
Isto mostra que o espaço solução é unidimensional, gerado pelo vetor \bigl(0,1,-1,2,0\bigr)^{T}.
Breve justificativa final: o número de variáveis livres é 1 (apenas x_4), logo a dimensão do núcleo é 1. Um conjunto gerador formado por um vetor não-nulo desse núcleo é uma base (já que qualquer vetor da solução é um múltiplo escalar desse vetor).]