Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas:
\left\{\begin{array}{l}2 x-y-z=0 \\\ x-2 y-z-w=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o sistema homogêneo
\begin{cases} 2x-y-z=0,\\[4pt] x-2y-z-w=0. \end{cases}
Lista clara do que foi dado e do que se pede:
  • Variáveis: x,y,z,w.
  • Equações: as duas linhas acima.
  • Pedidos:
    1. Determinar uma base do espaço solução (ou seja, do núcleo/nullspace).
    2. Determinar a dimensão desse espaço.
    3. Expressar o conjunto de soluções em equações paramétricas.]

Passo 2

Vamos pôr o sistema na forma matricial A\mathbf{v}=\mathbf{0} e aplicar eliminação para encontrar a forma escalonada. A matriz dos coeficientes A e o vetor incógnita \mathbf{v} são
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 & 0\\[4pt]1 & -2 & -1 & -1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]w\end{pmatrix}.
Como o sistema é homogêneo, a coluna de termos independentes é \mathbf{0} e não precisa ser escrita explicitamente para o processo de eliminação.]

Passo 3

Aplicando eliminação por linhas (explicando cada operação):
  1. Trocar as linhas para ter um 1 pivô na primeira linha (isso facilita): troque \text{L}_1 com \text{L}_2. Obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & -1\\[4pt] 2 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar o elemento abaixo do pivô (na coluna 1): \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 2\text{L}_1. Calculando componente a componente:
  • 2-2\cdot1=0,
  • -1 -2(-2) = -1 +4 = 3,
  • -1 -2(-1) = -1 +2 = 1,
  • 0 -2(-1) = 2.
    Logo a matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuar para obter pivô na segunda linha e zerar acima:
  1. Simplificar a segunda linha dividindo por 3: \text{L}_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}\text{L}_2, então
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.
  1. Eliminar o -2 na linha 1, coluna 2: \text{L}_1 \leftarrow \text{L}_1 + 2\text{L}_2. Calculando:
  • primeira entrada: 1 + 2\cdot 0 = 1,
  • segunda: -2 + 2\cdot1 = 0,
  • terceira: -1 + 2\cdot\tfrac{1}{3} = -1 + \tfrac{2}{3} = -\tfrac{1}{3},
  • quarta: -1 + 2\cdot\tfrac{2}{3} = -1 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{1}{3}.
    A matriz na forma reduzida é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretar cada linha como equação (voltando às variáveis). As duas equações equivalentes ao sistema reduzido são
\begin{cases} x - \tfrac{1}{3}z + \tfrac{1}{3}w = 0,\\[6pt] y + \tfrac{1}{3}z + \tfrac{2}{3}w = 0. \end{cases}
Isolando x e y:
x = \tfrac{1}{3}z - \tfrac{1}{3}w,\qquad y = -\tfrac{1}{3}z - \tfrac{2}{3}w.
As variáveis z e w não aparecem como pivôs nas linhas, são variáveis livres (podem ser escolhidas arbitrariamente).]

Passo 6

Introduzir parâmetros para as variáveis livres: seja s,z e t,w com s,t\in\mathbb{R}, ou seja tome \;z=s,\;w=t. Substituindo:
x = \tfrac{1}{3}s - \tfrac{1}{3}t,\qquad y = -\tfrac{1}{3}s - \tfrac{2}{3}t.
Escrevendo o vetor solução em função de s e t:
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]w\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[2pt]-\tfrac{1}{3}\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[2pt]-\tfrac{2}{3}\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 7

É comum preferir uma base com entradas inteiras (sem frações). Podemos reparametrizar escolhendo s=3u e t=3v com u,v\in\mathbb{R}. Substituindo:
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]w\end{pmatrix} = u\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix} + v\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad u,v\in\mathbb{R}.
Os vetores \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} são linearmente independentes e geram exatamente o espaço solução (qualquer combinação linear deles reproduz as soluções acima), portanto formam uma base do espaço solução.]

Passo 8

Determinar a dimensão e justificar:
  • Número de variáveis totais: 4 ( x,y,z,w ).
  • Número de pivôs (posto de A): 2 (colunas 1 e 2 são pivôs).
  • Assim a dimensão do espaço solução (nulo) é 4-2=2. Isso coincide com termos dois parâmetros u,v.

Resposta

Base: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix}\right\}
Dimensão: \displaystyle 2
Espaço solução (equações paramétricas): \displaystyle \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]w\end{pmatrix} = u\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix} + v\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix},\quad u,v\in\mathbb{R}]

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