Determine uma base, a dimensão e expresse os espaços solução dos sistemas lineares homogêneos abaixo em equações paramétricas: \left\{\begin{array}{l}2 x-y-z=0 \\\ x-2 y-z-w=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o sistema homogêneo
Determinar uma base do espaço solução (ou seja, do núcleo/nullspace).
Determinar a dimensão desse espaço.
Expressar o conjunto de soluções em equações paramétricas.]
Passo 2
Vamos pôr o sistema na forma matricial A\mathbf{v}=\mathbf{0} e aplicar eliminação para encontrar a forma escalonada. A matriz dos coeficientes A e o vetor incógnita \mathbf{v} são
Os vetores \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} são linearmente independentes e geram exatamente o espaço solução (qualquer combinação linear deles reproduz as soluções acima), portanto formam uma base do espaço solução.]
Passo 8
Determinar a dimensão e justificar:
Número de variáveis totais: 4 ( x,y,z,w ).
Número de pivôs (posto de A): 2 (colunas 1 e 2 são pivôs).
Assim a dimensão do espaço solução (nulo) é 4-2=2. Isso coincide com termos dois parâmetros u,v.