Determine uma base do núcleo da matriz A=\left[C_{1}\left|C_{2}\right| C_{3} \mid C_{4}\right], cujas colunas C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} são, respectivamente, as matrizes
As soluções de A X=0 são as mesmas de R X=0. Se X=\left[\begin{array}{llll}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4}\end{array}\right]^{T} for solução de R X=0, então
O que significa “núcleo” e como vamos encontrar uma base dele (explicação didática):
Definição: \operatorname{nuc}(A)=\{X\in\mathbb{R}^{4}: A X=0\}. É o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo A X=0.
Estratégia: resolver A X=0 por eliminação (escalonamento / eliminação de Gauss). Usamos operações sobre as linhas que não alteram o conjunto solução. Ao final, expressamos as variáveis pivôs em função das livres e parametrize as soluções; os vetores obtidos dando valor 1 a uma variável livre e 0 às outras formam um gerador do núcleo. Se esses vetores forem independentes (normalmente são), eles constituem uma base.
Passo 3
Escrever as incógnitas e o sistema correspondente:
Eliminar a entrada -1 na linha 2 usando a linha 1: fazemos R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}. Isso porque somar linhas é uma operação elementar que preserva as soluções. Obtém-se
Observação: todas as operações foram soma ou múltiplo de linha mais outra linha, que conservam o espaço solução; portanto as soluções de A X=0 são exatamente as de R X=0.]
Passo 5
Interpretar a forma escalonada e escrever as equações correspondentes:
A matriz R\) corresponde ao sistema
\[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0,\\[4pt] x_{2}+4x_{3}-2x_{4}=0,\\[4pt] x_{4}=0. \end{cases}
Aqui vemos imediatamente que x_{4}\] é uma variável pivô (porque tem pivô na linha 3), então \(x_{4}=0 não é livre. As variáveis com pivô são x_{1},x_{2},x_{4}; a única potencial variável livre é x_{3}.]
Passo 6
Resolver por substituição (back-substitution), com contas detalhadas:
Concluir a base do núcleo (explicando por que isso é uma base):
Parametrizamos com x_{3} livre (escrevendo x_{3}=t\in\mathbb{R}). O conjunto de todas as soluções é a reta gerada pelo vetor \begin{pmatrix}9\\\ -4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Esse único vetor gera todo o núcleo e é não nulo, portanto é linearmente independente por si só. Logo forma uma base do núcleo.
Pequeno incentivo: pronto — o núcleo aqui é uma reta (subespaço unidimensional) e acabamos de encontrar seu gerador. Você conseguiu!