Determine uma base do núcleo da matriz A=\left[C_{1}\left|C_{2}\right| C_{3} \mid C_{4}\right], cujas colunas C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} são, respectivamente, as matrizes
\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -1 \\\\ 5 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 5 \\\\ -7 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -4 \\\\ 9 \end{array}\right] .
Resolução: Queremos determinar uma base do núcleo da matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ -1 & -1 & 5 & -4 \\\\ 3 & 5 & -7 & 9 \end{array}\right]
Devemos então determinar um conjunto gerador do núcleo de A
\operatorname{nuc}(A)=\left\{X \in M_{4 \times 1}(\mathbb{R}): A X=0\right\}
Para resolver a equação homogênea, é preciso escalonamos a matriz A quando obtemos
R=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] .
As soluções de A X=0 são as mesmas de R X=0. Se X=\left[\begin{array}{llll}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4}\end{array}\right]^{T} for solução de R X=0, então
\begin{aligned} & x_{4}=0 \\\ & x_{2}=-4 x_{3}+2 x_{4}=-4 x_{3} \\\ & x_{1}=-2 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}=8 x_{3}+x_{3}=9 x_{3} \end{aligned}
Toda solução de A X=0 é da forma
\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 9 x_{3} \\\\ -4 x_{3} \\\ x_{3} \\\\ 0 \end{array}\right]=x_{3}\left[\begin{array}{r} 9 \\\\ -4 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] .
Uma base do núcleo de A é o conjunto formado pela matriz acima
\left\{\left[\begin{array}{r} 9 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]\right\} .

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos:
  • Pede: determinar uma base do núcleo da matriz A, isto é, um conjunto de vetores que gera \operatorname{nuc}(A) e é linearmente independente.
  • Dados: as colunas de A são
C_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix},\quad C_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 5\end{pmatrix},\quad C_{3}=\begin{pmatrix}-1\\\ 5\\\ -7\end{pmatrix},\quad C_{4}=\begin{pmatrix}2\\\ -4\\\ 9\end{pmatrix},
então a matriz A escrita por linhas é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] -1 & -1 & 5 & -4\\[4pt] 3 & 5 & -7 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa “núcleo” e como vamos encontrar uma base dele (explicação didática):
  • Definição: \operatorname{nuc}(A)=\{X\in\mathbb{R}^{4}: A X=0\}. É o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo A X=0.
  • Estratégia: resolver A X=0 por eliminação (escalonamento / eliminação de Gauss). Usamos operações sobre as linhas que não alteram o conjunto solução. Ao final, expressamos as variáveis pivôs em função das livres e parametrize as soluções; os vetores obtidos dando valor 1 a uma variável livre e 0 às outras formam um gerador do núcleo. Se esses vetores forem independentes (normalmente são), eles constituem uma base.

Passo 3

Escrever as incógnitas e o sistema correspondente:
Seja
X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}.
O sistema A X=0 corresponde ao sistema linear
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0,\\[4pt] - x_{1}-x_{2}+5x_{3}-4x_{4}=0,\\[4pt] 3x_{1}+5x_{2}-7x_{3}+9x_{4}=0. \end{cases}]

Passo 4

Escalonamento passo a passo (mostrando as operações e por que fazemos cada uma):
Começamos com a matriz dos coeficientes
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] -1 & -1 & 5 & -4\\[4pt] 3 & 5 & -7 & 9 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar a entrada -1 na linha 2 usando a linha 1: fazemos R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}. Isso porque somar linhas é uma operação elementar que preserva as soluções. Obtém-se
R_{2}=(-1+1,\\\ -1+2,\\\ 5+(-1),\\\ -4+2)=(0,\\\ 1,\\\ 4,\\\ -2).
  1. Eliminar a entrada 3 na linha 3 usando a linha 1: fazemos R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}. Calculando:
R_{3}=(3-3,\\\ 5-6,\\\ -7-(-3),\\\ 9-6)=(0,\\\ -1,\\\ -4,\\\ 3).
Agora a matriz está
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -2\\[4pt] 0 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar a entrada -1 na linha 3 usando a nova linha 2: fazemos R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}. Assim
R_{3}= (0+0,\\\ -1+1,\\\ -4+4,\\\ 3+(-2))=(0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 1).
Depois dessas operações chegamos à forma escalonada
R=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Observação: todas as operações foram soma ou múltiplo de linha mais outra linha, que conservam o espaço solução; portanto as soluções de A X=0 são exatamente as de R X=0.]

Passo 5

Interpretar a forma escalonada e escrever as equações correspondentes:
A matriz R\) corresponde ao sistema \[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0,\\[4pt] x_{2}+4x_{3}-2x_{4}=0,\\[4pt] x_{4}=0. \end{cases}
Aqui vemos imediatamente que x_{4}\] é uma variável pivô (porque tem pivô na linha 3), então \(x_{4}=0 não é livre. As variáveis com pivô são x_{1},x_{2},x_{4}; a única potencial variável livre é x_{3}.]

Passo 6

Resolver por substituição (back-substitution), com contas detalhadas:
Da terceira equação:
x_{4}=0.
Da segunda equação:
x_{2}+4x_{3}-2x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{2}=-4x_{3}+2x_{4}.
Substituindo x_{4}=0 obtemos
x_{2}=-4x_{3}.
Da primeira equação:
x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0.
Substituindo x_{2}=-4x_{3} e x_{4}=0:
x_{1}+2(-4x_{3})-x_{3}+2\cdot 0=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}-8x_{3}-x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=9x_{3}.
Portanto todas as soluções têm a forma
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9x_{3}\\[4pt]-4x_{3}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]0\end{pmatrix} = x_{3}\begin{pmatrix}9\\[4pt]-4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Concluir a base do núcleo (explicando por que isso é uma base):
  • Parametrizamos com x_{3} livre (escrevendo x_{3}=t\in\mathbb{R}). O conjunto de todas as soluções é a reta gerada pelo vetor \begin{pmatrix}9\\\ -4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Esse único vetor gera todo o núcleo e é não nulo, portanto é linearmente independente por si só. Logo forma uma base do núcleo.
Pequeno incentivo: pronto — o núcleo aqui é uma reta (subespaço unidimensional) e acabamos de encontrar seu gerador. Você conseguiu!

Resposta

\left\{\begin{pmatrix}9\\[4pt]-4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}

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