Determine uma base para o subespaço vetorial do
definido por
Resolução: O que se pede é uma base para o conjunto
formado pelas soluções do sistema homogêneo
Escalonando obtemos
Explicitando as incógnitas líderes e efetuando a substituição reversa, vem
Daí, (
) está em
quando
onde
pode assumir qualquer valor real. Portanto, uma base do espaço
é o conjunto
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma base para o subespaço
definido pelas equações lineares
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As incógnitas são
. - Há duas equações lineares homogêneas (lado direito igual a zero).
- O conjunto
é o conjunto de todas as triplas que satisfazem essas duas equações.
O que se pede explicitamente: encontrar um conjunto de vetores que seja base de(ou seja, que gere e cujos vetores sejam linearmente independentes).
Passo 2
Estratégia (explicada sem pressa): para encontrar uma base do espaço de soluções de um sistema homogêneo, resolve-se o sistema por eliminação (redução) para expressar as incógnitas líder em função das livres; depois escreve-se a solução geral em forma vetorial paramétrica. Cada parâmetro fornece um vetor gerador; os vetores associados aos parâmetros livres formam uma base (após eliminar vetores nulos e dependentes).
Agora aplicamos isso passo a passo ao sistema dado. Escrevendo o sistema:
Formamos as equações e fazemos eliminação entre elas. Subtraindo a primeira equação da segunda (para eliminar
):
o que dá
Dividindo por
(simplificação):
Portanto o sistema equivalente escalonado é
Passo 3
Agora identificamos variáveis líderes e variáveis livres. Na forma escalonada:
- A variável
aparece como líder na segunda equação com relação a . - A variável
aparece na primeira equação como líder (em função de e ). - A variável
não aparece como líder em nenhuma equação; logo é uma variável livre.
Chamemos o parâmetro livre de
e ponhamos
Da segunda equação
obtemos
Da primeira equação
substituímos
e
:
Passo 4
Escrevendo a solução geral em forma vetorial (fatorando
):
Isto significa que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
. Assim
é uma subreta passando pela origem (subespaço unidimensional) gerada pelo vetor
.
Agora expliquemos por que
é de fato uma base:
- Geração (span): qualquer vetor em
é para algum , logo . - Independência linear: um conjunto com um único vetor é linearmente independente se e somente se esse vetor for não nulo.
é claramente não nulo, logo independente.
Portanto o conjunto
satisfaz as duas condições de base.
Dica prática para a prova (resumo rápido e aplicável a outros problemas semelhantes):
- Monta o sistema linear homogêneo ou a matriz de coeficientes.
- Faz eliminação (redução) para identificar pivôs e variáveis livres.
- Expressa as variáveis líderes em função dos parâmetros correspondentes às variáveis livres.
- Escreve a solução geral como combinação linear dos vetores obtidos ao atribuir valor
a um parâmetro e aos outros; esses vetores formam uma base (sem vetores nulos e eliminando dependências óbvias).
Exemplo mini: se após eliminação obtiverescom parâmetros , então
e a base seria
, desde que esses dois vetores sejam independentes (o que normalmente ocorre quando vieram de parâmetros distintos).
Passo 5
Verificação final curta: escolhemos a base
. Confirmando:
- Gera: qualquer solução está na forma
. - Independente:
então é linearmente independente.
Assim é uma base válida de.