Determine uma base para o subespaço vetorial do \mathbb{R}^{3} definido por
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z=0, x+3 y-5 z=0\right\}
Resolução: O que se pede é uma base para o conjunto S formado pelas soluções do sistema homogêneo
\begin{array}{r} x+y+z=0 \\\ x+3 y-5 z=0 \end{array}
Escalonando obtemos
\begin{array}{r} x+y+z=0, \\\ y-3 z=0 . \end{array}
Explicitando as incógnitas líderes e efetuando a substituição reversa, vem
x=-4 z, \quad y=3 z
Daí, ( x, y, z ) está em S quando
(x, y, z)=(-4 z, 3 z, z)=z(-4,3,1)
onde z pode assumir qualquer valor real. Portanto, uma base do espaço S é o conjunto
\{(-4,3,1)\} .

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma base para o subespaço S\subset\mathbb{R}^{3} definido pelas equações lineares
x+y+z=0,
x+3y-5z=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As incógnitas são x,y,z.
  • Há duas equações lineares homogêneas (lado direito igual a zero).
  • O conjunto S é o conjunto de todas as triplas (x,y,z) que satisfazem essas duas equações.
    O que se pede explicitamente: encontrar um conjunto de vetores que seja base de S (ou seja, que gere S e cujos vetores sejam linearmente independentes).

Passo 2

Estratégia (explicada sem pressa): para encontrar uma base do espaço de soluções de um sistema homogêneo, resolve-se o sistema por eliminação (redução) para expressar as incógnitas líder em função das livres; depois escreve-se a solução geral em forma vetorial paramétrica. Cada parâmetro fornece um vetor gerador; os vetores associados aos parâmetros livres formam uma base (após eliminar vetores nulos e dependentes).
Agora aplicamos isso passo a passo ao sistema dado. Escrevendo o sistema:
\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] x+3y-5z=0. \end{cases}
Formamos as equações e fazemos eliminação entre elas. Subtraindo a primeira equação da segunda (para eliminar x):
(x+3y-5z) - (x+y+z) = 0 - 0,
o que dá
0 + 2y -6z = 0.
Dividindo por 2 (simplificação):
y - 3z = 0.
Portanto o sistema equivalente escalonado é
\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] y-3z=0. \end{cases}]

Passo 3

Agora identificamos variáveis líderes e variáveis livres. Na forma escalonada:
  • A variável y aparece como líder na segunda equação com relação a z.
  • A variável x aparece na primeira equação como líder (em função de y e z).
  • A variável z não aparece como líder em nenhuma equação; logo z é uma variável livre.
Chamemos o parâmetro livre de t e ponhamos
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Da segunda equação y-3z=0 obtemos
y = 3z = 3t.
Da primeira equação x+y+z=0 substituímos y e z:
x + 3t + t = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 4t = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -4t.

Passo 4

Escrevendo a solução geral em forma vetorial (fatorando t):
(x,y,z) = (-4t,\,3t,\,t) = t(-4,\,3,\,1).
Isto significa que todo vetor em S é um múltiplo escalar do vetor (-4,3,1). Assim S é uma subreta passando pela origem (subespaço unidimensional) gerada pelo vetor (-4,3,1).
Agora expliquemos por que \{(-4,3,1)\} é de fato uma base:
  • Geração (span): qualquer vetor em S é t(-4,3,1) para algum t, logo S=\mathrm{span}\{(-4,3,1)\}.
  • Independência linear: um conjunto com um único vetor é linearmente independente se e somente se esse vetor for não nulo. (-4,3,1) é claramente não nulo, logo independente.
Portanto o conjunto \{(-4,3,1)\} satisfaz as duas condições de base.
Dica prática para a prova (resumo rápido e aplicável a outros problemas semelhantes):
  1. Monta o sistema linear homogêneo ou a matriz de coeficientes.
  2. Faz eliminação (redução) para identificar pivôs e variáveis livres.
  3. Expressa as variáveis líderes em função dos parâmetros correspondentes às variáveis livres.
  4. Escreve a solução geral como combinação linear dos vetores obtidos ao atribuir valor 1 a um parâmetro e 0 aos outros; esses vetores formam uma base (sem vetores nulos e eliminando dependências óbvias).
    Exemplo mini: se após eliminação obtiveres x=2s- t,\;y=s,\;z=t com parâmetros s,t, então
(x,y,z)=s(2,1,0)+t(-1,0,1),
e a base seria \{(2,1,0),\,(-1,0,1)\}, desde que esses dois vetores sejam independentes (o que normalmente ocorre quando vieram de parâmetros distintos).

Passo 5

Verificação final curta: escolhemos a base \{(-4,3,1)\}. Confirmando:
  • Gera: qualquer solução está na forma t(-4,3,1).
  • Independente: (-4,3,1)\neq(0,0,0) então é linearmente independente.
    Assim é uma base válida de S.

Resposta

\{(-4,3,1)\}

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