Determine se o campo vetorial abaixo é conservativo ou não. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- determinar se
é conservativo (isto é, se existe uma função potencial tal que ); - caso seja conservativo, encontrar uma função
com .
Informações relevantes do enunciado:
- Os componentes de
são polinômios em , logo estão definidos em todo . - Portanto o domínio natural considerado é
(um conjunto aberto e simplesmente conectado).
Passo 2
Critério prático e ideia-chave (explicado com calma): numa região aberta e simplesmente conectada (como
) um campo vetorial suficientemente suave
é conservativo se, e somente se, o rotacional (curl) é o vetor nulo:
O rotacional é definido por
Explicação rápida das derivações parciais: por exemplo
significa derivar o componente
em relação a
, tratando
e
como constantes. Se o rotacional for distinto de zero em algum ponto, não existe potencial
definido em todo
.
Passo 3
Identificar
e calcular as derivadas parciais necessárias:
Calculemos o primeiro componente do rotacional:
Logo
Passo 4
Agora o segundo e terceiro componentes do rotacional:
Segundo componente:
Portanto
Terceiro componente:
Portanto
Assim o rotacional completo é
Passo 5
Interpretação e conclusão final: o rotacional
não é o vetor nulo em geral (por exemplo, em pontos com
,
e
fora dos valores que anulariam os fatores, as componentes
e
são não nulas). Como o domínio é
(simplesmente conectado) e o rotacional não é identicamente zero,
não é conservativo em
. Portanto não existe uma função
definida em todo
tal que
.
Observação útil para a prova: verificar o rotacional é o método direto e rápido quando o domínio é simplesmente conectado — se o rotacional for não nulo em qualquer ponto, já basta para concluir que não é conservativo.
Resposta
Não é conservativo em
.
Não existe função definida em todo
tal que
.
Não existe função