Determine se o campo vetorial abaixo é conservativo ou não. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x y z^{2}\,\mathbf{i}+x^{2} y z^{2}\,\mathbf{j}+x^{2} y^{2} z\,\mathbf{k}
e pede duas coisas:
  • determinar se \mathbf{F} é conservativo (isto é, se existe uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f);
  • caso seja conservativo, encontrar uma função f com \mathbf{F}=\nabla f.
Informações relevantes do enunciado:
  • Os componentes de \mathbf{F} são polinômios em (x,y,z), logo estão definidos em todo \mathbb{R}^{3}.
  • Portanto o domínio natural considerado é \mathbb{R}^{3} (um conjunto aberto e simplesmente conectado).

Passo 2

Critério prático e ideia-chave (explicado com calma): numa região aberta e simplesmente conectada (como \mathbb{R}^{3}) um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F}=(P,Q,R) é conservativo se, e somente se, o rotacional (curl) é o vetor nulo:
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
O rotacional é definido por
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Explicação rápida das derivações parciais: por exemplo \partial R/\partial y significa derivar o componente R(x,y,z) em relação a y, tratando x e z como constantes. Se o rotacional for distinto de zero em algum ponto, não existe potencial f definido em todo \mathbb{R}^3.

Passo 3

Identificar P,Q,R e calcular as derivadas parciais necessárias:
P(x,y,z)=x y z^{2},\qquad Q(x,y,z)=x^{2} y z^{2},\qquad R(x,y,z)=x^{2} y^{2} z.
Calculemos o primeiro componente do rotacional:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} y^{2} z\big)=x^{2}\cdot 2y\cdot z=2x^{2} y z,
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2} y z^{2}\big)=x^{2} y\cdot 2z=2x^{2} y z.
Logo
(\nabla\times\mathbf{F})_{x}=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=2x^{2} y z-2x^{2} y z=0.

Passo 4

Agora o segundo e terceiro componentes do rotacional:
Segundo componente:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x y z^{2}\big)=x y\cdot 2z=2x y z,
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} y^{2} z\big)=2x y^{2} z.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{F})_{y}=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=2x y z-2x y^{2} z=2x y z(1-y).
Terceiro componente:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} y z^{2}\big)=2x y z^{2},
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y z^{2}\big)=x z^{2}.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{F})_{z}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x y z^{2}-x z^{2}=x z^{2}(2y-1).
Assim o rotacional completo é
\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(0,\;2x y z(1-y),\;x z^{2}(2y-1)\bigr).

Passo 5

Interpretação e conclusão final: o rotacional \nabla\times\mathbf{F} não é o vetor nulo em geral (por exemplo, em pontos com x\neq0, z\neq0 e y fora dos valores que anulariam os fatores, as componentes y e z são não nulas). Como o domínio é \mathbb{R}^{3} (simplesmente conectado) e o rotacional não é identicamente zero, \mathbf{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{3}. Portanto não existe uma função f definida em todo \mathbb{R}^{3} tal que \mathbf{F}=\nabla f.
Observação útil para a prova: verificar o rotacional é o método direto e rápido quando o domínio é simplesmente conectado — se o rotacional for não nulo em qualquer ponto, já basta para concluir que não é conservativo.

Resposta

Não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
Não existe função f definida em todo \mathbb{R}^{3} tal que \mathbf{F}=\nabla f.

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