Determine a covariância e a correlação para a seguinte distribuição de probabilidade conjunta:
x 1 1 2 4
y 3 4 5 6
f_{X Y}(x, y) 1 / 8 1 / 4 1 / 2 1 / 8

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição conjunta discreta com quatro pontos. Vou listar claramente o que foi fornecido (peguei estes números do enunciado) e o que é pedido.
Dados (pares (x,y) com suas probabilidades):
  • (x,y)=(1,3) com P=1/8.
  • (x,y)=(1,4) com P=1/4.
  • (x,y)=(2,5) com P=1/2.
  • (x,y)=(4,6) com P=1/8.
O enunciado pede:
  • Determinar a covariância entre X e Y, isto é \operatorname{Cov}(X,Y).
  • Determinar a correlação entre X e Y, isto é \rho_{X,Y}=\operatorname{Corr}(X,Y).
Vou usar as probabilidades e os pares acima para calcular esperanças, variâncias, covariância e finalmente a correlação.

Passo 2

Definição e cálculo das esperanças E[X] e E[Y].
Lembrete (fórmula): para uma variável discreta com valores x_i e probabilidades p_i,
E[X]=\sum_i x_i p_i.
Aqui aplico diretamente somando sobre os quatro pares (cada par contribui com x e y multiplicados pela mesma probabilidade).
Cálculo de E[X]:
E[X]=1\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{1}{4}+2\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{8}.
Colocando tudo com denominador 8:
E[X]=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{8}{8}+\frac{4}{8}=\frac{15}{8}.
Logo
E[X]=\frac{15}{8}.
Cálculo de E[Y]:
E[Y]=3\cdot\frac{1}{8}+4\cdot\frac{1}{4}+5\cdot\frac{1}{2}+6\cdot\frac{1}{8}.
Com denominador 8:
E[Y]=\frac{3}{8}+\frac{8}{8}+\frac{20}{8}+\frac{6}{8}=\frac{37}{8}.
Logo
E[Y]=\frac{37}{8}.

Passo 3

Definição e cálculo de E[X^2], da variância \operatorname{Var}(X) e do desvio padrão \sigma_X.
Lembrete (fórmulas):
E[X^2]=\sum_i x_i^2 p_i, \qquad \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2, \qquad \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.
Cálculo de E[X^2]:
E[X^2]=1^2\cdot\frac{1}{8}+1^2\cdot\frac{1}{4}+2^2\cdot\frac{1}{2}+4^2\cdot\frac{1}{8}.
E[X^2]=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{16}{8}+\frac{16}{8}=\frac{35}{8}.
Cálculo de \operatorname{Var}(X):
\operatorname{Var}(X)=\frac{35}{8}-\left(\frac{15}{8}\right)^{\!2} =\frac{35}{8}-\frac{225}{64}.
Colocando sobre 64:
\operatorname{Var}(X)=\frac{280}{64}-\frac{225}{64}=\frac{55}{64}.
Desvio padrão:
\sigma_X=\sqrt{\frac{55}{64}}=\frac{\sqrt{55}}{8}.

Passo 4

Definição e cálculo de E[Y^2], da variância \operatorname{Var}(Y) e do desvio padrão \sigma_Y.
Lembrete (mesmas fórmulas que no passo anterior, trocando X por Y).
Cálculo de E[Y^2]:
E[Y^2]=3^2\cdot\frac{1}{8}+4^2\cdot\frac{1}{4}+5^2\cdot\frac{1}{2}+6^2\cdot\frac{1}{8}.
E[Y^2]=\frac{9}{8}+\frac{32}{8}+\frac{100}{8}+\frac{36}{8}=\frac{177}{8}.
Cálculo de \operatorname{Var}(Y):
\operatorname{Var}(Y)=\frac{177}{8}-\left(\frac{37}{8}\right)^{\!2} =\frac{177}{8}-\frac{1369}{64}.
Colocando sobre 64:
\operatorname{Var}(Y)=\frac{1416}{64}-\frac{1369}{64}=\frac{47}{64}.
Desvio padrão:
\sigma_Y=\sqrt{\frac{47}{64}}=\frac{\sqrt{47}}{8}.

Passo 5

Definição e cálculo de E[XY] e da covariância \operatorname{Cov}(X,Y).
Lembrete (fórmulas):
E[XY]=\sum_i x_i y_i p_i, \qquad \operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y].
A covariância mede, em média, como X e Y variam juntos: positiva quando tendem a aumentar juntos, negativa quando um tende a aumentar enquanto o outro diminui.
Cálculo de E[XY]:
E[XY]=1\cdot3\cdot\frac{1}{8}+1\cdot4\cdot\frac{1}{4}+2\cdot5\cdot\frac{1}{2}+4\cdot6\cdot\frac{1}{8}.
Em oitavos:
E[XY]=\frac{3}{8}+\frac{8}{8}+\frac{40}{8}+\frac{24}{8}=\frac{75}{8}.
Cálculo da covariância:
\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{75}{8}-\left(\frac{15}{8}\cdot\frac{37}{8}\right) =\frac{75}{8}-\frac{555}{64}.
Colocando sobre 64:
\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{600}{64}-\frac{555}{64}=\frac{45}{64}.
Portanto a covariância é \frac{45}{64} (valor positivo, indicando que X e Y tendem a aumentar juntos neste conjunto de dados).

Passo 6

Cálculo da correlação \rho_{X,Y} (coeficiente de correlação de Pearson) e interpretação.
Lembrete (fórmula):
\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}.
Esta é uma medida adimensional que fica entre -1 e 1. Valores próximos de 1 indicam forte correlação positiva, próximos de -1 forte correlação negativa, e próximos de 0 pouca correlação linear.
Usando os resultados dos passos anteriores:
\sigma_X\sigma_Y=\frac{\sqrt{55}}{8}\cdot\frac{\sqrt{47}}{8}=\frac{\sqrt{55\cdot47}}{64}.
Como \operatorname{Cov}(X,Y)=\dfrac{45}{64}, temos
\rho_{X,Y}=\frac{\dfrac{45}{64}}{\dfrac{\sqrt{55\cdot47}}{64}}=\frac{45}{\sqrt{55\cdot47}}.
Podemos deixar a correlação em forma exata e também dar uma aproximação numérica:
\rho_{X,Y}=\frac{45}{\sqrt{2585}}\approx 0{,}885\quad(\text{aprox.}).

Resposta

\operatorname{Cov}(X,Y)=\dfrac{45}{64}
\operatorname{Corr}(X,Y)=\dfrac{45}{\sqrt{55\cdot47}}\approx 0{,}885

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