Determine a covariância e a correlação para a seguinte distribuição de probabilidade conjunta:
1
1
2
4
3
4
5
6
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1 | 1 | 2 | 4 |
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3 | 4 | 5 | 6 |
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Passo 1
O enunciado dá uma distribuição conjunta discreta com quatro pontos. Vou listar claramente o que foi fornecido (peguei estes números do enunciado) e o que é pedido.
Dados (pares
com suas probabilidades):
-
com . -
com . -
com . -
com .
O enunciado pede:
- Determinar a covariância entre
e , isto é . - Determinar a correlação entre
e , isto é .
Vou usar as probabilidades e os pares acima para calcular esperanças, variâncias, covariância e finalmente a correlação.
Passo 2
Definição e cálculo das esperanças
e
.
Lembrete (fórmula): para uma variável discreta com valores
e probabilidades
,
Aqui aplico diretamente somando sobre os quatro pares (cada par contribui com
e
multiplicados pela mesma probabilidade).
Cálculo de
:
Colocando tudo com denominador
:
Logo
Cálculo de
:
Com denominador
:
Logo
Passo 3
Definição e cálculo de
, da variância
e do desvio padrão
.
Lembrete (fórmulas):
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Colocando sobre
:
Desvio padrão:
Passo 4
Definição e cálculo de
, da variância
e do desvio padrão
.
Lembrete (mesmas fórmulas que no passo anterior, trocando
por
).
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Colocando sobre
:
Desvio padrão:
Passo 5
Definição e cálculo de
e da covariância
.
Lembrete (fórmulas):
A covariância mede, em média, como
e
variam juntos: positiva quando tendem a aumentar juntos, negativa quando um tende a aumentar enquanto o outro diminui.
Cálculo de
:
Em oitavos:
Cálculo da covariância:
Colocando sobre
:
Portanto a covariância é
(valor positivo, indicando que
e
tendem a aumentar juntos neste conjunto de dados).
Passo 6
Cálculo da correlação
(coeficiente de correlação de Pearson) e interpretação.
Lembrete (fórmula):
Esta é uma medida adimensional que fica entre
e
. Valores próximos de
indicam forte correlação positiva, próximos de
forte correlação negativa, e próximos de
pouca correlação linear.
Usando os resultados dos passos anteriores:
Como
, temos
Podemos deixar a correlação em forma exata e também dar uma aproximação numérica: