Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(t, u)=\sqrt{t} \cdot \ln (u)

Passo 1

O enunciado pede: determine as derivadas parciais de primeira ordem da função f(t,u)=\sqrt{t}\cdot \ln(u).\n
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar: \n
  • A função é f(t,u)=\sqrt{t}\cdot \ln(u).\n
  • Para que \ln(u) esteja definida precisamos de u>0. Para que a derivada em t seja regular usamos t>0. Portanto trabalharemos no domínio t>0,\;u>0.\n
    As perguntas são: calcular \dfrac{\partial f}{\partial t}(t,u) e \dfrac{\partial f}{\partial u}(t,u).

Passo 2

O que significa “derivada parcial”?\n
  • A derivada parcial em relação a t mede a taxa de variação de f quando só t muda e u fica fixo. Em forma de limite isso é\n \frac{\partial f}{\partial t}(t,u)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h,u)-f(t,u)}{h}.\n
  • A derivada parcial em relação a u mede a variação quando só u muda e t fica fixo:\n \frac{\partial f}{\partial u}(t,u)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t,u+h)-f(t,u)}{h}.\n
Na prática, para calcular, tratamos a outra variável como constante e aplicamos regras usuais de diferenciação (produto, potência, logaritmo, etc.). Vou te lembrar as fórmulas que vamos usar: \n
  • Derivada de t^{\alpha} em relação a t é \alpha t^{\alpha-1}. Em particular, \dfrac{d}{dt}\sqrt{t}=\dfrac{d}{dt}t^{1/2}=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}.\n
  • Derivada de \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}.\n
  • Se uma função é produto de um fator que depende só de t e outro que depende só de u, ao derivar em relação a t o fator que depende só de u é constante (e vice-versa).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial t}(t,u).\n
Vamos olhar para f(t,u)=\sqrt{t}\cdot \ln(u). Ao derivar em relação a t tratamos \ln(u) como constante porque depende só de u.\n
Reescrevendo \sqrt{t}=t^{1/2} e aplicando a regra da potência:\n
\frac{\partial f}{\partial t}(t,u)=\ln(u)\cdot \frac{d}{dt}\bigl(t^{1/2}\bigr)\n
e \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{1/2}\bigr)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}. Portanto\n \frac{\partial f}{\partial t}(t,u)=\ln(u)\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}=\frac{\ln(u)}{2\sqrt{t}}.\n
Lembre-se do domínio: essa expressão faz sentido para t>0 e u>0.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial u}(t,u).\n
Agora tratamos \sqrt{t} como constante porque depende só de t. Aplicamos a derivada do logaritmo:\n
\frac{\partial f}{\partial u}(t,u)=\sqrt{t}\cdot \frac{d}{du}\bigl(\ln(u)\bigr)\n
e \dfrac{d}{du}\bigl(\ln(u)\bigr)=\dfrac{1}{u}. Assim\n \frac{\partial f}{\partial u}(t,u)=\sqrt{t}\cdot \frac{1}{u}=\frac{\sqrt{t}}{u}.\n
Novamente válido para t>0 e u>0.

Passo 5

Pequena checagem numérica mental (para ganhar confiança): escolha t=4 e u=e (onde \ln(e)=1).\n
  • Pela fórmula, \dfrac{\partial f}{\partial t}(4,e)=\dfrac{\ln(e)}{2\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}.\n
  • Pela fórmula, \dfrac{\partial f}{\partial u}(4,e)=\dfrac{\sqrt{4}}{e}=\dfrac{2}{e}.\n
    Faz sentido: se u fixo em e, a variação em t é pequena (1/4) naquele ponto; se t fixo em 4, a variação em u escala com 1/u ( 2/e aqui). Isso confirma que as fórmulas estão coerentes.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial t}(t,u)=\dfrac{\ln(u)}{2\sqrt{t}}\n
\dfrac{\partial f}{\partial u}(t,u)=\dfrac{\sqrt{t}}{u}

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