Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
.\n
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar: \n
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar: \n
- A função é
.\n - Para que
esteja definida precisamos de . Para que a derivada em seja regular usamos . Portanto trabalharemos no domínio .\n
As perguntas são: calculare .
Passo 2
O que significa “derivada parcial”?\n
- A derivada parcial em relação a
mede a taxa de variação de quando só muda e fica fixo. Em forma de limite isso é\n \n - A derivada parcial em relação a
mede a variação quando só muda e fica fixo:\n \n
Na prática, para calcular, tratamos a outra variável como constante e aplicamos regras usuais de diferenciação (produto, potência, logaritmo, etc.). Vou te lembrar as fórmulas que vamos usar: \n
- Derivada de
em relação a é . Em particular, .\n - Derivada de
em relação a é .\n - Se uma função é produto de um fator que depende só de
e outro que depende só de , ao derivar em relação a o fator que depende só de é constante (e vice-versa).
Passo 3
Calcular
.\n
Vamos olhar para . Ao derivar em relação a
tratamos
como constante porque depende só de
.\n
Reescrevendo e aplicando a regra da potência:\n
Vamos olhar para
Reescrevendo
e
. Portanto\n
\n
Lembre-se do domínio: essa expressão faz sentido para
e
.
Passo 4
Calcular
.\n
Agora tratamos como constante porque depende só de
. Aplicamos a derivada do logaritmo:\n
Agora tratamos
e
. Assim\n
\n
Novamente válido para
e
.
Passo 5
Pequena checagem numérica mental (para ganhar confiança): escolha
e
(onde
).\n
- Pela fórmula,
.\n - Pela fórmula,
.\n
Faz sentido: sefixo em , a variação em é pequena (1/4) naquele ponto; se fixo em , a variação em escala com ( aqui). Isso confirma que as fórmulas estão coerentes.