Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(u, v, t)=u \cos (v-t)

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função \,f(u,v,t)=u\cos(v-t)\,.
Informações dadas: a função é dada explicitamente em termos das três variáveis \,u\,,\,v\,,\,t\; e queremos as derivadas parciais em relação a cada uma delas (isto é, \partial f/\partial u, \partial f/\partial v e \partial f/\partial t). Não há ponto específico pedido, então buscamos expressões gerais em termos de \,u\,,v,t.

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar bem devagar: a derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo \,u) mede a taxa de variação de f quando só alteramos \,u e mantemos as outras variáveis fixas. Formalmente, a definição por limites é
\frac{\partial f}{\partial u}(u,v,t)=\lim_{h\to0}\frac{f(u+h,v,t)-f(u,v,t)}{h}.
Na prática, usamos as regras de derivação (produto, cadeia, etc.) tratando as outras variáveis como constantes. Vou lembrar duas regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se g(u)=u\cdot h(v,t) com h independente de u, então \partial g/\partial u = 1\cdot h(v,t).
  • Regra da cadeia para composição: se G(x)=\cos(x) e x=\varphi(v,t), então
\frac{\partial}{\partial v}\cos(\varphi(v,t)) = -\sin(\varphi(v,t))\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial v}.
Aqui cada passo da regra da cadeia tem um sentido: derivamos a função externa (aqui \cos) e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos calcular \partial f/\partial u. Observe que \cos(v-t) depende apenas de \,v e \,t, portanto, ao derivar em relação a \,u, \cos(v-t) é uma constante multiplicativa. Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial u}(u,v,t)=\cos(v-t)\cdot\frac{\partial}{\partial u}u=\cos(v-t)\cdot 1=\cos(v-t).
Interpretação: se eu aumento um pouquinho \,u mantendo \,v,t fixos, f aumenta aproximadamente em \cos(v-t) vezes esse aumento.

Passo 4

Agora \partial f/\partial v. A variável v aparece apenas dentro do cosseno, na combinação v-t. Usamos a regra da cadeia. Escrevendo f(u,v,t)=u\cdot \cos(\varphi(v,t)) com \varphi(v,t)=v-t, temos
\frac{\partial f}{\partial v}(u,v,t)=u\cdot\frac{\partial}{\partial v}\cos(\varphi(v,t)).
Aplicando a regra da cadeia: \frac{d}{d\varphi}\cos(\varphi)=-\sin(\varphi) e \frac{\partial \varphi}{\partial v}=\frac{\partial}{\partial v}(v-t)=1. Portanto
\frac{\partial f}{\partial v}(u,v,t)=u\cdot\big(-\sin(v-t)\big)\cdot 1=-u\sin(v-t).
Intuição: aumentar v desloca o argumento do cosseno; o sinal negativo aparece porque a derivada do cosseno é negativa do seno.

Passo 5

Finalmente \partial f/\partial t. A estrutura é parecida com a do passo anterior, mas agora derivamos em relação a t. Novamente \varphi(v,t)=v-t, então \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(v-t)=-1. Aplicando a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial t}(u,v,t)=u\cdot\frac{\partial}{\partial t}\cos(v-t)=u\cdot\big(-\sin(v-t)\big)\cdot\big(-1\big)=u\sin(v-t).
Observe que o duplo negativo (derivada do cos é -\sin e \partial (v-t)/\partial t=-1) resulta em sinal positivo.

Passo 6

Um pequeno cheque numérico para fixar: escolha \,u=2\,,\,v=\pi/2\,,\,t=\pi/6. Então \,v-t=\pi/3, \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Temos
f_u=\cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2},\qquad f_v=-2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3},\qquad f_t=2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
o que confere com as fórmulas acima.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=\cos(v-t)\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}=-u\sin(v-t)\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=u\sin(v-t)

Exercícios relacionados