Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Informações dadas: a função é dada explicitamente em termos das três variáveis e queremos as derivadas parciais em relação a cada uma delas (isto é,
,
e
). Não há ponto específico pedido, então buscamos expressões gerais em termos de
.
Informações dadas: a função é dada explicitamente em termos das três variáveis
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar bem devagar: a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
) mede a taxa de variação de
quando só alteramos
e mantemos as outras variáveis fixas. Formalmente, a definição por limites é
Na prática, usamos as regras de derivação (produto, cadeia, etc.) tratando as outras variáveis como constantes. Vou lembrar duas regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
com independente de , então . - Regra da cadeia para composição: se
e , então
Aqui cada passo da regra da cadeia tem um sentido: derivamos a função externa (aqui
) e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos calcular
. Observe que
depende apenas de
e
, portanto, ao derivar em relação a
,
é uma constante multiplicativa. Aplicando a regra do produto:
Interpretação: se eu aumento um pouquinho
mantendo
fixos,
aumenta aproximadamente em
vezes esse aumento.
Passo 4
Agora
. A variável
aparece apenas dentro do cosseno, na combinação
. Usamos a regra da cadeia. Escrevendo
com
, temos
Aplicando a regra da cadeia:
e
. Portanto
Intuição: aumentar
desloca o argumento do cosseno; o sinal negativo aparece porque a derivada do cosseno é negativa do seno.
Passo 5
Finalmente
. A estrutura é parecida com a do passo anterior, mas agora derivamos em relação a
. Novamente
, então
. Aplicando a cadeia:
Observe que o duplo negativo (derivada do cos é
e
) resulta em sinal positivo.
Passo 6
Um pequeno cheque numérico para fixar: escolha
. Então
,
e
. Temos
o que confere com as fórmulas acima.