Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y)=x^{5} y^{2}-6 x^{2} y+y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{5}y^{2}-6x^{2}y+y
e pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de f. Ou seja, encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes dadas: a função é um polinômio em x e y composto por três termos \,x^{5}y^{2},\,-6x^{2}y e +y.

Passo 2

O que significa derivada parcial? Vou explicar de um jeito prático e tranquilo. A derivada parcial de f em relação a x, escrita \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando só mudamos x e deixamos y fixo. Analogamente, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} mede a variação de f quando só mudamos y e deixamos x fixo.
Definição (intuição formal):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}
Na prática, quando temos polinômios como este, usamos regras de diferenciação de uma variável, tratando a outra variável como constante. Regras úteis que vamos usar: regra do poder (derivada de t^{n} é n t^{n-1}) e a propriedade de que um fator constante pode ser puxado para fora da derivada.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Aqui vamos derivar termo a termo, tratando y como constante.
Termo 1: para \,x^{5}y^{2}, o fator y^{2} é constante em relação a x. Aplicando a regra do poder em x^{5} obtemos 5x^{4}. Portanto a derivada deste termo é
5x^{4}y^{2}.
Termo 2: para -6x^{2}y, o y é constante; derivada de -6x^{2} em relação a x é -6\cdot 2x=-12x. Multiplicando pelo y constante:
-12xy.
Termo 3: para +y, como y é visto como constante quando derivamos em relação a x, a derivada de uma constante é 0:
0.
Somando os resultados termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=5x^{4}y^{2}-12xy.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Agora tratamos x como constante e derivamos em relação a y.
Termo 1: para \,x^{5}y^{2}, o x^{5} é constante. Aplicando a regra do poder em y^{2} obtemos 2y. Multiplicando:
2x^{5}y.
Termo 2: para -6x^{2}y, o x^{2} é constante; a derivada de y em relação a y é 1. Portanto a derivada deste termo é
-6x^{2}.
Termo 3: para +y, a derivada de y em relação a y é 1:
1.
Somando os resultados termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x^{5}y-6x^{2}+1.

Passo 5

Checagem rápida com um exemplo numérico (só para ganhar confiança): se eu escolher (x,y)=(1,1), então pelas fórmulas temos
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=5\cdot1^{4}\cdot1^{2}-12\cdot1\cdot1=5-12=-7,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2\cdot1^{5}\cdot1-6\cdot1^{2}+1=2-6+1=-3.
Serve para verificar que as expressões fazem sentido numericamente.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=5x^{4}y^{2}-12xy.
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x^{5}y-6x^{2}+1.

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