Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
. Ou seja, encontrar
e
.
Informações relevantes dadas: a função é um polinômio em e
composto por três termos
e
.
Informações relevantes dadas: a função é um polinômio em
Passo 2
O que significa derivada parcial? Vou explicar de um jeito prático e tranquilo. A derivada parcial de
em relação a
, escrita
, mede como
varia quando só mudamos
e deixamos
fixo. Analogamente,
mede a variação de
quando só mudamos
e deixamos
fixo.
Definição (intuição formal):
Na prática, quando temos polinômios como este, usamos regras de diferenciação de uma variável, tratando a outra variável como constante. Regras úteis que vamos usar: regra do poder (derivada de
é
) e a propriedade de que um fator constante pode ser puxado para fora da derivada.
Passo 3
Calcular
. Aqui vamos derivar termo a termo, tratando
como constante.
Termo 1: para
, o fator
é constante em relação a
. Aplicando a regra do poder em
obtemos
. Portanto a derivada deste termo é
Termo 2: para
, o
é constante; derivada de
em relação a
é
. Multiplicando pelo
constante:
Termo 3: para
, como
é visto como constante quando derivamos em relação a
, a derivada de uma constante é
:
Somando os resultados termo a termo:
Passo 4
Calcular
. Agora tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Termo 1: para
, o
é constante. Aplicando a regra do poder em
obtemos
. Multiplicando:
Termo 2: para
, o
é constante; a derivada de
em relação a
é
. Portanto a derivada deste termo é
Termo 3: para
, a derivada de
em relação a
é
:
Somando os resultados termo a termo:
Passo 5
Checagem rápida com um exemplo numérico (só para ganhar confiança): se eu escolher
, então pelas fórmulas temos
Serve para verificar que as expressões fazem sentido numericamente.