Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y)=\ln \left(x+y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\ln\bigl(x+y^{3}\bigr).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função é f(x,y)=\ln(x+y^{3}).
  • Condição necessária para a função estar bem definida: x+y^{3}>0 (pois o logaritmo natural só aceita argumento positivo).
  • Precisamos calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

Relembrando o conceito básico (do jeitinho que você usará na prova): a derivada parcial em relação a uma variável é a derivada considerando a outra variável como constante. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
e de forma análoga para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Na prática, quando a função é composição do tipo \ln(u) com u=u(x,y), usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) em relação à variável é \dfrac{1}{u} vezes a derivada de u em relação àquela variável.

Passo 3

Vamos aplicar isso para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Escrevo u(x,y)=x+y^{3}. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(u(x,y)\bigr)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora calculo \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=x+y^{3} e y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=1.
Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+y^{3}}\cdot 1=\frac{1}{x+y^{3}}.

Passo 4

Agora \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Mesma ideia: u(x,y)=x+y^{3} e pela regra da cadeia
\frac{\partial}{\partial y}\ln\bigl(u(x,y)\bigr)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Calculamos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}. Como x é tratado como constante e y^{3} é função de y,
\frac{\partial u}{\partial y}=3y^{2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x+y^{3}}\cdot 3y^{2}=\frac{3y^{2}}{x+y^{3}}.

Passo 5

Verificações rápidas e dica de prova:
  • As duas expressões fazem sentido somente onde x+y^{3}>0, que é o domínio da função original.
  • Dica para a prova: quando tiver \ln(\text{algo}), sempre pense imediatamente: derivada = 1/(\text{algo}) vezes derivada do “algo”. Para derivadas parciais, trate as outras variáveis como constantes.
  • Exemplo numérico (só para visualizar): em (x,y)=(1,1) temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+y^{3}}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{3y^{2}}{x+y^{3}}

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