Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função é
. - Condição necessária para a função estar bem definida:
(pois o logaritmo natural só aceita argumento positivo). - Precisamos calcular
e .
Passo 2
Relembrando o conceito básico (do jeitinho que você usará na prova): a derivada parcial em relação a uma variável é a derivada considerando a outra variável como constante. Formalmente,
e de forma análoga para
. Na prática, quando a função é composição do tipo
com
, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação à variável é
vezes a derivada de
em relação àquela variável.
Passo 3
Vamos aplicar isso para
. Escrevo
. Pela regra da cadeia,
Agora calculo
. Como
e
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Substituindo,
Passo 4
Agora
. Mesma ideia:
e pela regra da cadeia
Calculamos
. Como
é tratado como constante e
é função de
,
Logo
Passo 5
Verificações rápidas e dica de prova:
- As duas expressões fazem sentido somente onde
, que é o domínio da função original. - Dica para a prova: quando tiver
, sempre pense imediatamente: derivada = vezes derivada do “algo”. Para derivadas parciais, trate as outras variáveis como constantes. - Exemplo numérico (só para visualizar): em
temos e .